平行四边形本课内容本节内容2.2——2.2.1平行四边形的性质做一做在小学，我们已经认识了平行四边形.在图2-10中找出平行四边形，并把它们勾画出来.图2-10四边形平行四边形两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.如图2-11，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，则四边形ABCD是平行四边形.图2-11平行四边形ABCD记作“ABCD”.□探究图2-12每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形（或者图2-12中的□ABCD）四条边的长度、四个角的大小，由此你能做出什么猜测？你能证明吗？通过观察和测量，我发现平行四边形的对边相等、对角相等.通过观察和测量，我发现平行四边形的对边相等、对角相等.这些猜测对吗？下面我们来证明这个结论.平行四边形的对边相等、对角相等.平行四边形的对边相等、对角相等.在图2-13的□ABCD中，连接AC.∴∠1=∠2，∠4=∠3.∴AB∥DC，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.图2-13 四边形ABCD为平行四边形，又AC=CA，∴AB=CD，BC=DA，∠B=∠D.∴△ABC≌△CDA.又∠1+∠4=∠2+∠3.即∠BAD=∠DCB.图2-13结论平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.由此得到平行四边形的性质定理：例1如图2-14，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，AD=2cm，∠A=65°，∠E=33°，求EF和∠BGC.举例图2-14 四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2cm，∠1=∠A=65°. 四边形BCEF是平行四边形，∴EF=BC=2cm，∠2=∠E=33°.∴在△BGC中，∠BGC=180°-1∠-2=82°.∠解图2-14所以AB=CD.如图2-15，直线l1与l2平行，AB，CD是l1与l2之间的任意两条平行线段.试问：AB与CD是否相等？为什么？图2-15举例例2夹在两条平行线间的平行线段相等.因为l1∥l2，AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形.解1.如图，□ABCD的一个外角为38°，求∠A，∠B，∠BCD，∠D的度数.练习答：∠A=142°；∠B=38°；∠BCD=142°；∠D=38°.2.如图，在□ABCD中，∠ABC=68°，BE平分∠ABC，交AD于点E.AB=2cm，ED=1cm.（1）求∠A，∠C，∠D的度数；（2）求□ABCD的周长.（1）答：∠A=112°；∠C=112°；∠D=68°.∴AE=AB=2cm,∴AD=AE+ED=2+1=3(cm).∴□ABCD的周长=2(AD+AB)=2×(3+2)=10(cm).∠ABE=∠AEB.（2）解由已知可得探究如图2-16，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线AC与BD相交于点O.比较OA，OC，OB，OD的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？图2-16图2-16我发现OA=OC，OB=OD.我发现OA=OC，OB=OD.图2-16我猜测点O是每条对角线的中点.我猜测点O是每条对角线的中点.从而∠1=2∠，∠3=4.∠所以△OAB≌△OCD.(ASA)于是OA=OC，OB=OD.这个猜测对吗？下面我们来进行证明.如图2-17，由于四边形ABCD是平行四边形，因此AB=CD，且AB∥CD.图2-17结论平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的对角线互相平分.由此得到平行四边形的性质定理：如图2-18，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.试求△COD的周长.例3113522OCAC,ODBD.∴又 CD=4.8，∴△COD的周长为3+5+4.8=12.8. AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，解图2-18举例如图2-19，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.例4求证：点O是线段MN的中点.图2-19举例 AD∥BC，∴∠MAO=∠NCO.又∠AOM=∠CON，∴△AOM≌△CON.∴OM=ON. AC，BD为□ABCD的对角线，且相交于点O，∴OA=OC.证明图2-19∴点O是线段MN的中点.1.如图，在□ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm.（1）△AOD的周长；（2）△ABC与△BCD的周长哪个长？长多少？练习答：（1）△AOD的周长是21cm.（2）△BCD的周长比△ABC的周长长，长6cm.答：相等.2.平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等吗？为什么？MN证明：如右图所示，在□ABCD中，DM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N. AC，BD为□ABCD的对角线，且相交于点O，∴OB=OD.又∠AOD=∠COB，∴Rt△DOM≌Rt△BON.∴DM=BN.中考试题例1如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是.解析 四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA，又 点E是BC边中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AB=2，OE=2.2中考试题例2如图，□ABC...
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