复合函数初步VIP专享VIP免费

复合函数初步复合函数：如果y是u的函数,而u又是x的函数,即,y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量.注意：若y=f(u)定义域为A，u=g(x)值域为B，则必须满足BA求复合函数的定义域(1)已知函数y=f(x)的定义域,求它的复合函数f[g(x)]的定义域.我们知道函数的定义域为____________,则f(x+1)的定义域为___________.2x1f(x){x|-1≤x≤1}{x|-2≤x≤0}训练：已知f(x)的定义域是[-1,4],求g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域.{x|-2≤x≤2}说明:函数的定义域是指自变量x的取值范围,所以对于g(x)=f(x+1)+f(1-x)的定义域,应设x+1,1-x的取值范围满足y=f(x)中的x的取值范围.结论:(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域应有不等式a≤g(x)≤b解出x即得.求复合函数的定义域我们知道函数的定义域为____________,则f(x)的定义域为___________.{x|0≤x≤1}x)x(12)f(x(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域,求原函数y=f(x)的定义域.{x|2≤x≤3}训练：已知f(x+1)的定义域是[-1,4],求f(x)的定义域.x∈[0,5]结论:(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],求其复合函数f[g(x)]的定义域，应由不等式a≤g(x)≤b解出x即得.(2)已知复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b],求原函数y=f(x)的定义域,应求出y=g(x)的值域(x∈[a,b]),即得y=f(x)的定义域.练习:(1)设函数f(x)的定义域是[0,2],求函数f(x2)的定义域.]2,2[(1)(2)已知y=f(2x+1)定义域是[0,1],求y=f(x)的定义域.,3][(2)1(3).已知f(x2)的定义域是[-1,1],求函数f(x)的定义域.(3)[0,1]4.已知的定义域为[-3，2]，求函数的定义域。)(xf)()()(xfxfxg232323xxxgxxf定义域为定义域为解)(],[)(:xo-3-2233223xx22x1120101012xtxxfxt即的定义域为设解)(:5.设函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域。)(xf)()(12xfxH21122211221,,xxxxx或],[],[)(2112xxh的定义域为6、已知的定义域，求的定义域。例3①已知定义域为[0，3]，求的定义域。)(xf)(xf)1(xf)(xf2121301ttftxxt的定义域为设解)(:21xxf的定义域为)(②若的定义域为[1，2]，求的定义域。)(42xf)(xf225xxf的定义域为答)(:例1求下列函数的定义域、值域：解：（1）由x-1≠0得x≠1所以，所求函数定义域为{x|x≠1}⑴114.0xy⑵153xy⑶12xy由，得y≠1011x所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}求复合函数的值域说明：对于值域的求解，可以令tx11考察指数函数y=t4.0并结合图象直观地得到:)0(t654321-1-4-2246函数值域为{y|y>0且y≠1}114.0xy⑵153xy解：（2）由5x-1≥0得51x所以，所求函数定义域为51|xx由015x得y≥1所以，所求函数值域为{y|y≥1}⑶12xy解：（3）所求函数定义域为R由02x可得112x所以，所求函数值域为{y|y>1}求下列函数的定义域和值域：⑴xay1⑵31)21(xy解：⑴要使函数有意义，必须01xa1xa当1a时,0x；当10a时,0x 0xa∴110xa∴值域为}10|{yy⑵要使函数有意义，必须03x3x 031x∴1)21()21(031xy又 0y∴值域为),1()1,0(练习:1.(1)若函数f(x)的定义域为(0,1),则的定义域为_________.)2(xf(2)函数的定义域为________.91312xy.)1,0(11.2的定义域、值域且求函数aaaayxx练习:1求函数的定义域和值域.()12xfx2已知函数的值域是，求f(x)的定义域.2()22xxfx(12,)3已知关于的方程有实根，求实数m的取值范围.||21xm练习:4.当x>0时,函数的值总大于1,则实数a的取值范围是___.xaxf)1()(2复合函数的单调性若u=g(x)增函数减函数增函数减函数y=f(u)增函数减函数减函数增函数则y=f[g(x)]规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数“同增异减”增函数增函数减函数减函数例：求函数的单调性.232)21()(xxxf解：设，.f(u)和u(x)的定义域均为R因...