第三节等比数列及其前n项和A组专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2015·绵阳市一诊)设各项均为不为0的数列{an}满足an＋1＝an(n≥1)，若a2a4＝2a5，则a3＝()A.B.2C.2D.4解析由an＋1＝an(n≥1)知数列{an}是以为公比的等比数列，因为a2a4＝2a5，所以a1q·a1q3＝2a1q4⇒a1＝2，所以a3＝4.答案D2.(2015·河南省焦作市高三统考)已知正项等比数列{an}满足a3·a2n－3＝4n(n＞1)，则log2a1＋log2a3＋log2a5…＋＋log2a2n－1＝()A.n2B.(n＋1)2C.n(2n－1)D.(n－1)2解析 a3·a2n－3＝4n，∴log2a1＋log2a3…＋＋log2a2n－1＝log2(a1a2…a2n－1)＝log2(a1a2n－1a3a2n－3…)＝log2(4n)＝n2.答案A3.(2014·马鞍山模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列{}的前4项和为()A.或4B.或4C.D.解析设数列{an}的公比为q.当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.当S6＝6，两者不相等，因此不合题意.当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得＝.解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.所以数列{}的前4项和为1＋＋＋＝.答案C4.(2013·潍坊模拟)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.B.－C.D.解析 a7＋a8＋a9＝S9－S6，S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，∴有8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝.答案A一年创新演练5.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3…＋＋an＝3n－1，则a＋a＋a…＋＋a等于()A.(3n－1)2B.(9n－1)C.9n－1D.(3n－1)解析因为a1＋a2…＋＋an＝3n－1，所以a1＋a2…＋＋an－1＝3n－1－1(n≥2).当n≥2时，an＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*).则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列.∴a＋a…＋＋a＝＝(9n－1).故选B.答案B6.已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，则a＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则有b1＝a＋1，b2＝aq＋2，b3＝aq2＋3，(aq＋2)2＝(a＋1)·(aq2＋3)，即aq2－4aq＋3a－1＝0.因为数列{an}是唯一的，因此由方程aq2－4aq＋3a－1＝0解得的a，q的值是唯一的.若Δ＝0，则a2＋a＝0，又a＞0，因此这样的a不存在.故方程aq2－4aq＋3a－1＝0必有两个不同的实根，且其中一根为零，于是有3a－1＝0，a＝，此时q＝4，数列{an}是唯一的，因此满足题意的a＝.答案B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2015·山西省三诊)在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8.设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列{a}的前n项和.若S3n＝tTn，则实数t的值为()A.7B.9C.12D.15解析 q3＝＝8，q＝2，S3n＝，数列{a}仍为等比数列，公比为q3＝8，Tn＝，∴＝t，t＝7.答案A二、填空题8.(2014·深圳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则数列{an}的通项公式an＝________.解析由已知可得：Sn＝3n，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1，当n＝1时，2·3n－1＝2.所以an＝答案三、解答题9.(2015·湖南十二校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*).(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的前n项和Sn.(1)证明 an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0，∴＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1.(2)解 4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，∴4b1＋b2＋b3…＋＋bn－n＝2n2，∴2(b1＋b2＋b3…＋＋bn)－2n＝n2，即2(b1＋b2＋b3…＋＋bn)＝n2＋2n，∴Sn＝b1＋b2＋b3…＋＋bn＝n2＋n.10.(2014·广东重点中学联考)已知数列{an}是首项为a1＝，公比q＝的等比数列.设bn＋2＝3logan(n∈N＋)，数列{cn}满足cn＝an·bn.(1)求证：数列{bn}成等差数列；(2)求数列{cn}的前n项和Sn；(3)若cn≤m2＋m－1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.(1)证明由已知可得，an＝a1qn－1＝，bn＋2＝3log＝3n，∴bn＝3n－2. bn＋1－bn＝3，∴{bn}为等差数列，其中b1＝1，d＝3.(2)解c...
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