第三章三角函数、解三角形第六节简单的三角恒等变换考点三角恒等变换1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知sin2α＝，则cos2＝()A.B.C.D.解析：本题主要考查利用二倍角公式及降幂公式、诱导公式等知识求三角函数的值，考查三角恒等变换，意在考查考生的运算求解能力．法一：cos2＝＝(1－sin2α)＝.法二：cos＝cosα－sinα，所以cos2＝(cosα－sinα)2＝(1－2sinαcosα)＝(1－sin2α)＝.答案：A2．（2013广东，12分）已知函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)若cosθ＝，θ∈，求f.解：本题主要考查函数与三角函数的基础知识与运算、同角三角函数关系、特殊三角函数值、两角和与差的三角函数．在考查基础知识的同时突出基本运算能力，与2012年三角题相比较，试卷结构稳定，涉及求值知识点，稳定平和中有亮点，为高考复习作出了较好的方向指向．(1)f＝cos＝cos＝×＝1.(2)∵cosθ＝，θ∈，∴sinθ＜0，sinθ＝－＝－.故f＝cos＝cos＝＝＝cosθ＋sinθ＝－＝－.3．（2013北京，13分）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．解：本题主要考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、三角函数的周期和最值等相关知识意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力．(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x＝cos2xsin2x＋cos4x＝(sin4x＋cos4x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f(α)＝，所以sin＝1.因为α∈，所以4α＋∈，即4α＋＝.故α＝.4．（2012江西，5分）若＝，则tan2α＝()A．－B.C．－D.解析：∵＝，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理得sinα＝－3cosα，即＝－3＝tanα，∴tan2α＝＝.答案：B5．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．解析：因为α为锐角，cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝，sin2(α＋)＝，cos2(α＋)＝，所以sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝×＝.答案：6．(2012广东，12分)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈[0，]，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f()＝，所以Acos(×＋)＝Acos＝A＝，所以A＝2.(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)，f(4α＋)＝2cos(α＋＋)＝－2sinα＝－，所以sinα＝，因为α∈[0，]，所以cosα＝；又因为f(4β－)＝2cos(β－＋)＝2cosβ＝，所以cosβ＝，因为β∈[0，]，所以sinβ＝.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.7．(2011江苏，14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋)＝2cosA，求A的值；(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．解：(1)由题设知sinAcos＋cosAsin＝2cosA.从而sinA＝cosA，所以cosA≠0，tanA＝.因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由cosA＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝.所以sinC＝cosA＝.8．(2010天津，12分)在△ABC中，＝.(1)证明B＝C；(2)若cosA＝－，求sin(4B＋)的值．解：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π＜B－C＜π，从而B－C＝0.所以B＝C.(2)由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，故cos2B＝－cos(π－2B)＝－cosA＝.又0＜2B＜π，于是sin2B＝＝.从而sin4B＝2sin2Bcos2B＝，cos4B＝cos22B－sin22B＝－.所以sin(4B＋)＝sin4Bcos＋cos4Bsin＝.9．(2009·广东，12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cosφ的值．解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝.∵θ∈(0，)，∴cosθ＝⇒sinθ＝.(2)法一：由sin(θ－φ)＝有，sinθcosφ－cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ－，∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2cosφ＋＝1⇒5cos2φ－2cosφ－＝0.解得cosφ＝，cosφ＝－，∵0＜φ＜，∴cosφ＝.法二：∵0＜θ，φ＜，∴－＜θ－φ＜.所以cos(θ－φ)＝＝.故cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝·＋·＝.
