专训4用线段成比例法解几何问题的几种常见类型名师点金：线段成比例法在三角形、四边形、圆中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，有时也以压轴题的形式出现．噫毅X与三角形有关的问题1.【2017・杭州】如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在边AC,AB上,AG丄BC于点G,AF丄DE于点F,ZEAF=ZGAC.(1)求证：△ADEs^ABC；龙序：与四边形有关的问题2.【2017・泰安】如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,AC平分ZBAD，点P是AC延长线上一点，且PD丄AD.(1)求证：ZBDC=ZPDC；.左密J与圆有关的问题3.【2017・滨州】如图，点E是AABC的内心，AE的延长线交BC于点F,交AABC的外接圆0O于点D,连接BD,过点D作直线DM,使ZBDM=ZDAC.(1)求证：直线DM是0O的切线；PPC=12.4.【中考•襄阳】如图，AB是0O的直径，点C为0O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交0O于点D,直线EC交AB的延长线于点P,连接AC,BC,(1)求证：AC平分ZBAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由;(3)若AD=3，求△ABC的面积.答案1.⑴证明：TAG丄BC,AF丄DE,••・ZAFE=ZAGC=90°.VZEAF=ZGAC,AZAED=ZACB.又TZEAD=ZCAB,•••△ADES^ABC.(2)解：由(1)可知：△ADEs^ABC,•ADAE3…AB=AC=5.由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,•?ZEAF=ZCAG,AAEAFS^CAG.•AF_AE•AFAD3•*AG=AC.''AG_AB_5.2.(1)证明：TAB_AD,AC平分ZBAD,•AC丄BD,・・・ZACD+ZBDC_90°.TAC_AD,・ZACD_ZADC.•ZADC＋ZBDC90°.又TPD丄AD,・ZADC+ZPDC_90°.•ZBDCZPDC.•CECM.TZCMPZADP90°,ZPZP•△CPMS^APD.•CM_PC…AD_PA.设CM_CE_x,TCE:CP_2:3,3•PC_2x.TABADAC1,32•・•OD丄.x=_…1_3产+1解得x=|，即卩CE=|.经检验，x=3是方程的解且符合题意.故AE=AC-CE=1-1=2.3.证明：(1)如图，连接OD..•点E是厶ABC的内心,•・ZBAD=ZCAD.又VZBDM=ZDAC,ZDAC=ZDBC,•ZBDM=ZDBC..•・BC〃DM,・・OD丄DM.・•・直线DM是0O的切线.⑵如图，连接BE.•・•点E是厶ABC的内心，.•・ZBAE=ZCAE=ZCBD,ZABE=ZCBE.•ZBAE+ZABE=ZCBD+ZCBE,即ZBED=ZEBD./.DB=DE.•ZDBF=ZDAB，ZBDF=ZADB,•.△DBFsADAB.•・DE2=DF・DA.i.;（第3题）（第4题）4.(1)证明：如图，连接OC..PE与0O相切，・OC丄PE..DFDB.DB=DA，即DB2=DF・DA.PPB+2PB5A3^OC=PB+3PB=I,AOCW2+ocTAE丄PE,AOC〃AE.AZCAD=ZOCA.TOA=OC,••・ZOCA=ZOAC.・•・ZCAD=ZOAC.AAC平分ZBAD.⑵解：PB,AB之间的数量关系为AB=3PB.理由如下：TAB为0O的直径，・・・ZACB=90°.Z.ZBAC+ZABC=90°.TOB=OC,Z.ZOCB=ZABC.TZPCB+ZOCB=90°,Z.ZPCB=ZPAC.TZP=ZP,AAPCASAPBC.PCPAAPB=PdAPC2=PB，PA.TPBPC=12,APC=2PB.APA=4PB.AAB=3PB.13(3)解：过点O作OH丄AD于点H,如图，则AH=2AD=2,3四边形OCEH是矩形.AOC=HE.AAE=2+OC.OCPO3TOC〃AE,•••△PCOSAPEA.A.忑=五丁AB=3PB,AB=2OB,A.OB=2AAPBBC1A.AB=5.T△PBC^^PCA,.•.pC=AC=2，・AAC=2BC.在Rt^ABC中，AC2+BC2=AB2,・A(2BC)2+BC2=52,A・BC=.侶，A.AC=^'5.ASABC=2AC・BC=5,即厶ABC的面积为5.△ABC2
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