第4讲数学归纳法分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明不等式1…＋＋＋＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取()．A．7B．8C．9D．10解析左边＝1…＋＋＋＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.答案B2“．用数学归纳法证明命题当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y”整除，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案D3．用数学归纳法证明1……－＋－＋＋－＝＋＋＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.B．－C.－D.＋解析 当n＝k时，左侧＝1…－＋－＋＋－，当n＝k＋1时，左侧＝1…－＋－＋＋－＋－.答案C4．对于不等式1，n∈N*)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1…＋＋＋＋>1＋，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1……＋＋＋＋＋＋＋>1…＋＋＋＋＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*.不等式S2n>1＋都成立．8．(13分)已知数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝r，an＋3＝an＋2(n∈N*)，与数列{bn}：b1＝1，b2＝0，b3＝－1，b4＝0，bn＋4＝bn(n∈N*)．记Tn＝b1a1＋b2a2＋b3a3…＋＋bnan.(1)若a1＋a2＋a3…＋＋a12＝64，求r的值；(2)求证：T12n＝－4n(n∈N*)．(1)解a1＋a2＋a3…＋＋a12＝1＋2＋r＋3＋4＋(r＋2)＋5＋6＋(r＋4)＋7＋8＋(r＋6)＝48＋4r. 48＋4r＝64，∴r＝4.(2)证明用数学归纳法证明：当n∈N*时，T12n＝－4n.①当n＝1时，T12＝a1－a3＋a5－a7＋a9－a11＝－4，故等式成立．②假设n＝k时等式成立，即T12k＝－4k，那么当n＝k＋1时，T12(k＋1)＝T12k＋a12k＋1－a12k＋3＋a12k＋5－a12k＋7＋a12k＋9－a12k＋11＝－4k＋(8k＋1)－(8k＋r)＋(8k＋4)－(8k＋5)＋(8k＋r＋4)－(8k＋8)＝－4k－4＝－4(k＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n∈N*时，T12n＝－4n.分层B级创新能力提升1．用数学归纳法证明1＋2＋3…＋＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()．A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)…＋＋(k＋1)2解析 当n＝k时，左侧＝1＋2＋3…＋＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3…＋＋k2＋(k2＋1)…＋＋(k＋1)2∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)…＋＋(k＋1)2.答案D2．(·广州一模)已知1＋2×3＋3×32＋4＋33…＋＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c解析 等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.答案A3．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)…，，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1...
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