第一章集合与常用逻辑第2讲命题及充要条件基础巩固题组(建议用时:30分钟)1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是________________.解析依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数.答案若一个数的平方是正数,则它是负数2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是______________.解析同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的否命题.答案若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<33.命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是________________.解析由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.答案若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数4.(·郑州检测)已知直线l,m,其中只有m在平面α内,则“l∥α”是“l∥m”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).解析当l∥α时,直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能,所以l∥m不成立;当l∥m时,根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α,即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件.答案必要不充分5.(·南京、盐城模拟)“lgx>lgy”是“>”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).解析若lgx>lgy,则x>y>0,有>,所以充分性成立;反之,当x>0,y=0时,有>,但没有lgx>lgy,所以必要性不成立,所以“lgx>lgy”是“>”的充分不必要条件.答案充分不必要6.(·成都二诊)下列说法:①命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1”;②命题“∃x0∈R,x>1”的否定是“∀x∈R,x2>1”;③命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆否命题为假命题;④命题“若x=y,则cosx=cosy”的逆命题为假命题.其中说法正确的是________(填序号).解析①中否命题为“若x2≤1,则x≤1”,所以①错误;②中否定为“∀x∈R,x2≤1”,所以②错误;因为逆否命题与原命题同真假,所以③错误;易知④正确.答案④7.(·广东卷改编)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).解析结合正弦定理可知,a≤b⇔2RsinA≤2RsinB⇔sinA≤sinB(R为△ABC外接圆的半径).答案充要8.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________.答案若x≤y,则x2≤y29.“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).解析x2+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,即m≤.答案充分不必要10.(·泰州调研)下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“a>b”是“a2>b2”的必要条件;③“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件;④“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件.其中真命题的序号是________.解析由a>b不能得知ac2>bc2,当c2=0时,ac2=bc2;反过来,由ac2>bc2可得a>b.因此,“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,故③为真命题.答案③11.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________.解析已知函数f(x)=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立.所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.答案m=-212.下列命题:①“全等三角形的面积相等”的逆命题;②“若ab=0,则a=0”的否命题;③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题.其中真命题的序号是________.解析①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”,显然该命题为假命题;②“若ab=0,则a=0”的否命题为“若ab≠0,则a≠0”,而由ab≠0,可得a,b都不为零,故a≠0,所以该命题是真命题;③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题,故其逆否命题也是一个真命题.答案②③能力提升题组(建议用时:15分钟)1.(·天津十二区县重点中学联考)设x,y∈R,则“x2+y2≥9”是“x>3且y≥3”的________条件(填...