第一章集合与常用逻辑第2讲命题及充要条件基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________．解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案若一个数的平方是正数，则它是负数2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜33．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．答案若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数4．(·郑州检测)已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件．答案必要不充分5．(·南京、盐城模拟)“lgx＞lgy”是“＞”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析若lgx＞lgy，则x＞y＞0，有＞，所以充分性成立；反之，当x＞0，y＝0时，有＞，但没有lgx＞lgy，所以必要性不成立，所以“lgx＞lgy”是“＞”的充分不必要条件．答案充分不必要6．(·成都二诊)下列说法：①命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”；②命题“∃x0∈R，x＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”；③命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆否命题为假命题；④命题“若x＝y，则cosx＝cosy”的逆命题为假命题．其中说法正确的是________(填序号)．解析①中否命题为“若x2≤1，则x≤1”，所以①错误；②中否定为“∀x∈R，x2≤1”，所以②错误；因为逆否命题与原命题同真假，所以③错误；易知④正确．答案④7．(·广东卷改编)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析结合正弦定理可知，a≤b⇔2RsinA≤2RsinB⇔sinA≤sinB(R为△ABC外接圆的半径)．答案充要8．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是________．答案若x≤y，则x2≤y29．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.答案充分不必要10．(·泰州调研)下列命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“a＞b”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件；④“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析由a＞b不能得知ac2＞bc2，当c2＝0时，ac2＝bc2；反过来，由ac2＞bc2可得a＞b.因此，“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故③为真命题．答案③11．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．解析已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案m＝－212．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0，可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题．答案②③能力提升题组(建议用时：15分钟)1．(·天津十二区县重点中学联考)设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x＞3且y≥3”的________条件(填...
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