3.2解三角形基础题命题角度1利用正弦、余弦定理解三角形高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3答案A解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cosA=b2+c2-a22bc,∴c2-4c22bc=-14,∴-3c2b=-14,∴bc=32×4=6,故选A.2.(2018全国Ⅱ·6)在△ABC中,cosC2=❑√55,BC=1,AC=5,则AB=()A.4❑√2B.❑√30C.❑√29D.2❑√5答案A解析 cosC=2cos2C2-1=-35,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4❑√2.3.(2018全国Ⅲ·9)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6答案C解析由S=a2+b2-c24=12absinC,得c2=a2+b2-2absinC.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,∴sinC=cosC,即C=π4.4.(2017山东·9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A解析 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,∴sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,∴sinB+2sinBcosC=sinB+sinAcosC,∴2sinBcosC=sinAcosC,又△ABC为锐角三角形,∴2sinB=sinA,由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2019全国Ⅱ·15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为.答案6❑√3解析 b2=a2+c2-2accosB,∴(2c)2+c2-2×2c×c×12=62,即3c2=36,解得c=2❑√3或c=-2❑√3(舍去).∴a=2c=4❑√3.∴S△ABC=12acsinB=12×4❑√3×2❑√3×❑√32=6❑√3.典题演练提能·刷高分1.在△ABC中,若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离为1,则此三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案A解析由已知可得|sinC|❑√sin2A+sin2B=1,∴sin2C=sin2A+sin2B,∴c2=a2+b2,故三角形为直角三角形.选A.2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosC+c=2a,且b=❑√13,c=3,则a=()A.1B.❑√6C.2❑√2D.4答案D解析已知2bcosC+c=2a,由正弦定理可得2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,∴sinC=2cosBsinC, sinC≠0,∴cosB=12.由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,又知b=❑√13,c=3,解得a=4.故选D.3.(2019安徽合肥高三质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asinB=2bsinC,b=3,cosB=14,则△ABC的面积为()A.9❑√15B.9❑√1516C.3❑√1516D.916答案B解析由asinB=2bsinC,结合正弦定理可得ab=2bc,则a=2c.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得9=(2c)2+c2-2×2c×c×14,解得c=32,则a=3.又sinB=❑√1-cos2B=❑√154,所以S△ABC=12acsinB=12×3×32×❑√154=9❑√1516.故选B.4.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2cos2A+B2-cos2C=1,4sinB=3sinA,a-b=1,则c的值为()A.❑√13B.❑√7C.❑√37D.6答案A解析 2cos2A+B2=2cos2π-C2=2cos2π2−C2=2sin2C2=1-cosC,∴1-cosC-cos2C=1.∴cos2C=-cosC.∴2cos2C+cosC-1=0,解得cosC=12.因为{a-b=1,4b=3a,故得到{b=3,a=4.根据余弦定理得到12=a2+b2-c22ab,解得c的值为❑√13.5.△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=5,B=π3,cosA=1114,则△ABC的面积S=()A.10❑√33B.10C.10❑√3D.20❑√3答案C解析因为cosA=1114,所以sinA=5❑√314,由正弦定理得到asinA=bsinB,解得b=7,由正弦定理得到sinC=sin(A+B)=4❑√37,△ABC的面积S=12×5×7×4❑√37=10❑√3.6.(2019安徽宣城高三二调)在△ABC中,角A,B,C成等差数列,且对边分别为a,b,c,若⃗BA·⃗BC=20,b=7,则△ABC的内切圆的半径为()A.❑√3B.7❑√33C.2D.3答案A解析 角A,B,C成等差数列,∴2B=A+C=π-B,即B=π3,∴⃗BA·⃗BC=cacosπ3=20,即ca=40,由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB,可得49=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-120,解得a+c=13.故a=5,c=8.设△ABC的内切圆的半径为r,则12(a+b+c)r=12acsinB,可得12(5+8+7)r=12×5×8×❑√32,可得△ABC的内切圆的半径r=❑√3.故选A.7.如图,平面四边形ABCD中,AC与BD交于点P,若3⃗AP+⃗BD=3⃗BC,AB=AD=❑√3BC,∠CAD+∠ACB=56π,则CDAB=()A.❑√213B.❑√214C.2❑√63D.❑√62答案A解析设BC=1,则AB=AD=❑√3,延长BC到E,使BE=3BC,所以CE=2,依题意...
VIP
