用平移坐标法探究平行四边形的存在问题存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度．为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题．1.平移坐标法的探究1.1课本习题题目：（人教版《数学》七年级（下）习题6．2第1题）如图1，三架飞机P、Q、R保持编队飞行，分别写出他们的坐标．30秒后，飞机P飞到P′的位置，飞机Q、R飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标．ABCxy图1图2图3分析：三架飞机保持编队飞行，实际上是三架飞机保持相对位置不变，相当于△PQR作了整体的平移，因此当飞机P平移到P′的位置时，飞机Q和R与飞机P进行了相同的平移变换．解：由图中看出四个点坐标分别为P（-1,1）、Q（-3,1）、R（-1,-1）、P′（4,3），点P（-1,1）平移到点P′（4,3），横坐标加了5，纵坐标加了2，所以Q→Q′、R→R′的坐标变化也一样，从而Q′点的坐标为（2，3）、R′点的坐标为（4,1）．本题中求出点Q′、R′坐标依据的是平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都要相应发生相同的变化．1.2模型探究如图2，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点．（1）画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形．（2）若A、B、C三点的坐标分别为、、，写出第四个顶点D的坐标．解：（1）如图3，过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以A、B、C三点为顶点的平行四边形有三个：以BC为对角线，有□CABD1；以AC为对角线，有□ABCD2；以AB为对角线，有□ACBD3．（2）在□CABD1中，线段AC平移到BD1，因A→B横坐标增加（）、纵坐标增加（），根据坐标平移的性质得D1（，）．同理得D2（，）、D3（，）．结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个．由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标．姑且称之为平移坐标法．2.平移坐标法的运用平移坐标法能否用来探究平行四边形的存在性问题呢？2.1.三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性．例1（2009烟台）如图4，抛物线与轴交于AB，两点，与轴交于C点，且经过点（，），对称轴是直线，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？图4图5解：（1）抛物线的函数表达式为．（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A、C、N．下面探讨以三点A、C、N为顶点的平行四边形的第四个顶点坐标．如图5，由平移的性质直接写出第四个顶点的坐标：以CN为对角线，第四个顶点坐标为；以AC为对角线，第四个顶点坐标为；以AN为对角线，第四个顶点坐标为．将其分别代入抛物线中检验，其中只有在抛物线上．点评：本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，则三种情况都必须考虑．例2（2009湖州）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线与轴相交于点，与直线相交于点．(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；(2)如图6，在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？图6图7解：（1）．（2）由已知条件易探究得A、C、N三点坐标为A、C、N．下面探讨以A、C、N三点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标，如图7．若以CN为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；若以AC为对角线，第四个顶点为，代入解析式得，即；若以AN为对角线，第四个顶点为，代入解析式得＞0，不合题意，无解．∴所以在抛物线上存在点和，使得以为顶点的四边形是平行四边形．点评：①本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母a），但依然可以根据坐标平移的性质直接写出第四个顶点的坐标．②看上去此法冗长，三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨．有些解法通过分析图形认为以AN为对角线显然不可能，其实对于学生来说这个“显然”并不显然．抛物线的走向和弯曲程度学生是难以判断的，更何况这是一个含字母系数的二次函数．这样讨论更严谨！2.2两个定点、两个动点，探究平行四边形的存在性。例3...
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