第1页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共10页§3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即Γ(s)和B(p,q).它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数Γ(s)考虑无穷限含参积分∫0+∞xs−1e−xdx,(s>0)当0
0.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到limx→0+x1−s(xs−1e−x)=1,1−s<1,⇒00时积分∫01收敛.∫1+∞:x2⋅xs−1e−x=xs+1e−x→0,(x→+∞)对∀s∈R成立,.因此积分∫1+∞对∀s∈R收敛.综上,s>0时积分∫0+∞xs−1e−xdx收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了s∈(0,+∞)内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为Γ(s),即Γ(s)=∫0+∞xs−1e−xdx,(s>0).Γ−函数是一个很有用的特殊函数.2.Γ−函数的连续性和可导性:第2页共10页第1页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共10页Γ(s)在区间(0,+∞)内非一致收敛.这是因为s=0时积分发散.这里利用了下面的结果:若含参广义积分在y∈(a,b]内收敛,但在点y=a发散,则积分在(a,b]内非一致收敛.但Γ(s)在区间(0,+∞)内闭一致收敛.即在任何[a,b]⊂(0,+∞)上,Γ(s)一致收敛.因为00,⇒Γ(s)在区间(0,+∞)内严格下凸.Γ(1)=Γ(2)=1(参下段),⇒Γ(s)在区间(0,+∞)内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2之间.4.Γ(s)的递推公式Γ−函数表:Γ(s)的递推公式:Γ(s+1)=sΓ(s),(s>0).第3页共10页第2页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共10页证Γ(s+1)=∫0+∞xse−xdx=−∫0+∞xs(e−x)'dx==−xse−x|0+∞+s∫0+∞xs−1e−xdx=s∫0+∞xs−1e−xdx=sΓ(s).Γ(1)=∫0+∞x1−1e−xdx=∫0+∞e−xdx=1.于是,利用递推公式得:Γ(2)=Γ(1+1)=1Γ(1)=1,Γ(3)=Γ(2+1)=2Γ(2)=2⋅1=2!,Γ(4)=Γ(3+1)=3Γ(3)=3⋅2!=3!,…………,,一般地有Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n−1)Γ(n−1)=⋯=n!.可见,在Z+上,Γ(s)正是正整数阶乘的表达式.倘定义s!=Γ(s+1),易见对s>−1,该定义是有意义的.因此,可视Γ(s+1)为(−1,+∞)内实数的阶乘.这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了(−1,+∞)内的所有实数上,于是,自然就有0!=Γ(0+1)=Γ(1)=1,可见在初等数学中规定0!=1是很合理的.Γ−函数表:很多繁杂的积分计算问题可化为Γ−函数来处理.人们仿三角函数表、对数表等函数表,制订了Γ−函数表供查.由Γ−函数的递推公式可见,有了Γ−函数在00,求得Γ(s)的值.通常把1.00≤s≤2.00内Γ−函数的某些近似值制成表,称这样的表为Γ−函数表.5.Γ−函数的延拓:s>0时,Γ(s+1)=sΓ(s),⇒Γ(s)=Γ(s+1)s.该式右端在−1
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