圆学子梦想铸金字品牌导数的四则运算法则简单复合函数的导数一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.函数y=A.lnxx21+ln2x的导数是()1+lnx2B.1+lnx21+ln2xlnxD.2x1C.-xlnx1+ln2x12【解析】选A.令u=1+v2,v=lnx,则y=u,1-112所以y′x=y′u·u′v·v′x=2u·2v·x1=21·2lnx·=x21+lnxx1.1+lnx2lnx2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2exf′(1)+3lnx,则f′(1)=()23A.-3B.2eC.D.1-2e1-2e3【解析】选D.因为f′(1)为常数,所以f′(x)=2ef′(1)+x,所以f′(1)=2ef′(1)+3,x3所以f′(1)=.1-2e3.函数y=xln(2x+5)的导数为()x2xA.ln(2x+5)-B.ln(2x+5)+2x+52x+5C.2xln(2x+5)xD.2x+5【解析】选B.y′=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+-1-圆学子梦想铸金字品牌12xx[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x··(2x+5)′=ln(2x+5)+.2x+52x+5124.已知函数f(x)=4x+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是()1【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f′(x)=2x-sinx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,D两项,又因为在原点右侧靠近原点的区1间上,sinx>2x,所以f′(x)<0,所以原点右侧靠近原点的图象应该落在第四象限,故选A.【补偿训练】若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是()【解析】选A.由函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,得b<0.又f′(x)=2x+b在R上是增函数且在y轴上的截距小于0,所以选A.5.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为()A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.(-1,0)2(x-2)(x+1)4【解析】选C.因为f′(x)=2x-2-x=,又x>0,所以f′(x)>0,x-2-圆学子梦想铸金字品牌即x-2>0,解得x>2.【补偿训练】函数y=sin2x-cos2x的导数是()πA.22cos2x-4B.cos2x-sin2xπC.sin2x+cos2xD.22cos2x+4【解析】选A.因为y′=(sin2x-cos2x)′=(sin2x)′-(cos2x)′=cos2x·(2x)′+sin2x·(2x)′=2cos2x+2sin2x22=22cos2x+sin2x22π=22cos2x-4.6.(多选题)下列各函数的导数正确的是()1-1A.(x)′=2x2B.(ax)′=axlnxC.(sin2x)′=cos2xx1D.′=x+12(x+1)11-1【解析】选AD.(x)′=(x2)′=2x2,A正确;(ax)′=axlna,B错误;(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,C错误;-3-圆学子梦想铸金字品牌xx′·(x+1)-x·(x+1)′x+1′=2(x+1)=1=,D正确.22(x+1)(x+1)x+1-x二、填空题(每小题5分,共10分)x7.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y=ax+1e在点0,1处的切线的斜率为-2,则a=________.【解析】由y=(ax+1)ex,所以y′=aex+(ax+1)ex=(ax+1+a)ex,故曲线y=(ax+1)ex在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-3138.已知f(x)=3x+3xf′(0),则f′(0)=________,f′(1)=________.【解析】由于f′(0)是一常数,所以f′(x)=x2+3f′(0),令x=0,则f′(0)=0,所以f′(1)=12+3f′(0)=1.答案:01三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的导数.2(1)f(x)=x+lnx;3(2)f(x)=axsinx-2(a∈R);(3)f(x)=(ex-1)(2x-1)k.-4-圆学子梦想铸金字品牌21x-2【解析】(1)f′(x)=-x2+x=x2.(2)f′(x)=asinx+axcosx.k(2x-1)(3)f′(x)=(ex-1)′(2x-1)k+(ex-1)′=ex(2x-1)k+(ex-1)·2k(2x-1)k-1x=(2x-1)k-1e(2x-1+2k)-2k.10.已知f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)·f(x)=1.求f(x)的解析式.【解析】由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.把f(x),f′(x)代入方程x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1得:x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.要使方程对任意x恒成立,则需要a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,所以f(x)=2x2+2x+1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共...