导数的四则运算法则简单复合函数的导数VIP专享VIP免费

圆学子梦想铸金字品牌导数的四则运算法则简单复合函数的导数一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．函数y＝A．lnxx21＋ln2x的导数是()1＋lnx2B．1＋lnx21＋ln2xlnxD．2x1C．－xlnx1＋ln2x12【解析】选A.令u＝1＋v2，v＝lnx，则y＝u，1－112所以y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·2v·x1＝21·2lnx·＝x21＋lnxx1.1＋lnx2lnx2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)＝()23A．－3B．2eC．D．1－2e1－2e3【解析】选D.因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2ef′(1)＋x，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，x3所以f′(1)＝.1－2e3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为()x2xA．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋2x＋52x＋5C．2xln(2x＋5)xD．2x＋5【解析】选B.y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋-1-圆学子梦想铸金字品牌12xx[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.2x＋52x＋5124．已知函数f(x)＝4x＋cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是()1【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数，所以其导函数f′(x)＝2x－sinx是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，D两项，又因为在原点右侧靠近原点的区1间上，sinx＞2x，所以f′(x)＜0，所以原点右侧靠近原点的图象应该落在第四象限，故选A.【补偿训练】若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是()【解析】选A.由函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，得b＜0.又f′(x)＝2x＋b在R上是增函数且在y轴上的截距小于0，所以选A.5．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1，0)2（x－2）（x＋1）4【解析】选C.因为f′(x)＝2x－2－x＝，又x>0，所以f′(x)>0，x-2-圆学子梦想铸金字品牌即x－2>0，解得x>2.【补偿训练】函数y＝sin2x－cos2x的导数是()πA．22cos2x－4B．cos2x－sin2xπC．sin2x＋cos2xD．22cos2x＋4【解析】选A.因为y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝cos2x·(2x)′＋sin2x·(2x)′＝2cos2x＋2sin2x22＝22cos2x＋sin2x22π＝22cos2x－4.6．(多选题)下列各函数的导数正确的是()1－1A．(x)′＝2x2B．(ax)′＝axlnxC．(sin2x)′＝cos2xx1D．′＝x＋12（x＋1）11－1【解析】选AD.(x)′＝(x2)′＝2x2，A正确；(ax)′＝axlna，B错误；(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，C错误；-3-圆学子梦想铸金字品牌xx′·（x＋1）－x·（x＋1）′x＋1′＝2（x＋1）＝1＝，D正确．22（x＋1）（x＋1）x＋1－x二、填空题(每小题5分，共10分)x7．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝ax＋1e在点0，1处的切线的斜率为－2，则a＝________．【解析】由y＝(ax＋1)ex，所以y′＝aex＋(ax＋1)ex＝(ax＋1＋a)ex，故曲线y＝(ax＋1)ex在(0，1)处的切线的斜率为k＝a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－3138．已知f(x)＝3x＋3xf′(0)，则f′(0)＝________，f′(1)＝________．【解析】由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：01三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的导数．2(1)f(x)＝x＋lnx；3(2)f(x)＝axsinx－2(a∈R)；(3)f(x)＝(ex－1)(2x－1)k.-4-圆学子梦想铸金字品牌21x－2【解析】(1)f′(x)＝－x2＋x＝x2.(2)f′(x)＝asinx＋axcosx.k（2x－1）(3)f′(x)＝(ex－1)′(2x－1)k＋(ex－1)′＝ex(2x－1)k＋(ex－1)·2k(2x－1)k－1x＝(2x－1)k－1e（2x－1＋2k）－2k.10．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1.求f(x)的解析式．【解析】由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1得：x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对任意x恒成立，则需要a＝b，b＝2c，c－1＝0，解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共...