第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共6页第四章相似矩阵课程教案授课题目：第一节特征值与特征向量教学目的：掌握方阵的特征值和特征向量的概念和求法.教学重点：掌握方阵的特征值和特征向量的求法.教学难点：方阵特征向量的求法.课时安排：3学时.授课方式：多媒体与板书结合.教学基本内容：§4.1特征值与特征向量1定义1设是阶方阵，如果存在数和维非零列向量，使得(1)成立，则称是方阵的特征值，是的属于特征值的特征向量.注1.只对方阵有这样的定义,而且特征向量必须是非零向量.2.(1)成立有非零解..称为特征多项式.称为特征方程.2矩阵特征值、特征向量的计算步骤：1．解特征方程；求出特征根，即的特征值由于特征方程是关于的次代数方程，所以在计算行列式值写出特征多项式（的次多项式）时，应尽可能写成低次因式乘积的形式以便解特征方程.2．对每个特征值，解齐次线性代数方程组.求出其基础解系，即为矩阵属于特征值的特征向量.矩阵属于的线性无关特征向量的个数有个，即为解空间的维数，常称为矩阵属于特征值的特征子空间（其中任一非零向量皆为属于的特征向量.注以上由定义导出的一般计算方法，在已知特征值求特征向量或已知特征向量求特征值的情况下都会得到简化.例1求下列矩阵的特征值和特征向量：第2页共6页第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共6页(1)(1−124)；(2)(123213336)；(3).并问它们的特征向量是否两两正交?解(1)①|A−λE|=|1−λ−124−λ|=(λ−2)(λ−3)，故的特征值为.②当时,解方程，由(A−2E)=(−1−122)~(1100)得基础解系P1=(−11)所以k1P1(k1≠0)是对应于的全部特征值向量．当时，解方程，由(A−3E)=(−2−121)~(2100)得基础解系P2=(−121)所以k2P2(k2≠0)是对应于的全部特征向量．③[P1,P2]=P1TP2=(−1,1)(−121)=32≠0，故不正交．(2)①|A−λE|=|1−λ2321−λ3336−λ|=−λ(λ+1)(λ−9)，故的特征值为．②当时，解方程，由A=(123213336)~(123011000)得基础解系P1=(−1−11)第3页共6页第2页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共6页故k1P1(k1≠0)是对应于的全部特征值向量.当时，解方程(A+E)x=0，由A+E=(223223337)~(223001000)得基础解系P2=(−110)故k2P2(k2≠0)是对应于的全部特征值向量.当时，解方程(A−9E)x=0，由A−9E=(−8232−8333−3)~(11−101−12000)得基础解系P3=[1/21/21]故k3P3(k3≠0)是对应于的全部特征值向量．③[P1,P2]=P1TP2=(−1,−1,1)(−110)=0，[P2,P3]=P2TP3=(−1,1,0)[1/21/21]=0，[P1,P3]=P1TP3=(−1,−1,1)[1/21/21]=0，所以两两正交．(3)|A−λE|=|a12−λa1a2⋯a1ana2a1a22−λ⋯a2an⋮⋮⋱⋮ana1ana2⋯an2−λ|=λn−λn−1(a12+a22+⋯+an2)=λn−1[λ−(a12+a22+⋯+an2)]∴λ1=a12+a22+⋯+an2=∑i=1nai2,λ2=λ3=⋯=λn=0.当λ1=∑i=1nai2时，第4页共6页第3页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共6页(A−λE)=(−a22−a32−⋯−an2a1a2⋯a1ana2a1−a12−a32−⋯−an2⋯a2an⋮⋮⋱⋮ana1ana2⋯−a12−a22−⋯−an−12)~初等行变换(an0⋯0−a10an⋯0−a2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯an−an−100⋯00)取xn为自由未知量，并令xn=an，设x1=a1,x2=a2,⋯xn−1=an−1.故基础解系为P1=(a1a2⋮an)当λ2=λ3=⋯=λn=0时，(A−0⋅E)=(a12a1a2⋯a1ana2a1a22⋯a2an⋮⋮⋮ana1ana2⋯an2)~初等行变换(a1a2⋯an00⋯0⋮⋮⋮00⋯0)可得基础解系P2=(−a2a10⋮0),P3=(−a20a1⋮0),⋯,Pn=(−an00⋮a1)综上所述可知原矩阵的特征向量为(P1,P2,⋯,Pn)=(a1−a2⋯−ana2a1⋯0⋮⋮⋮an0⋯a1).例2已知向量是矩阵(−211a20−4b3)的一个特征向量,试求对应于的特征值，并确定中之之值.第5页共6页第4页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共6页解由定义知，成立，即(−211a20−4b3)[113]=[λλ3λ]，即[2a+2b+5]=[λλ3λ]，于是得.3矩阵特征值、特征向量的常用性质性质1若是阶矩阵特征值，则必有（的迹）..性质1的第一式常可用于对特征值计算作一简单的校核....
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