九年级上第一章证明第一节你能证明吗第1课时一、试题资料库：例1.（1）如果等腰三角形的两边分别为3和6，则周长为。（2）如果等腰三角形的两边分别为3和4，则周长为。解答：（1）如果等腰三角形的两边分别为3和6，则周长为15。（2）如果等腰三角形的两边分别为3和4，则周长为10或11。例2.已知如图AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：DE＝DF。证明：连结AD AB＝AC，BD＝DC∴AD平分∠BAC DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF例3.已知：B、C、E在同一直线上，△ABC、△DEC是等边三角形，BD交AC于Q，AE交CD于P，求证：（1）BD＝AE；（2）△CPQ是等边三角形；（3）PQ∥BC。分析：（1）证BD、AE所在的△BDC和△AEC全等。（2）可证CQ＝PC，可通过证△CEP与△CQD全等来证。（3）由△PCQ为等边三角形可得∠QPC＝60°，可通过内错角相等来证PQ∥BC。证明：（1） △ABC，△DEC为等边三角形∴∠ACB＝∠DCE＝60°在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD＝AE（全等三角形的对应边相等）（2）由（1）∠CDQ＝∠CEP（全等三角形的对应角相等） ∠BCE＝180°∴∠QCP＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°在△CDQ和△CEP中，∴△CDQ≌△CEP（ASA）∴CQ＝CP（全等三角形对应边相等）在△PCQ中，∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）（3） △CPQ是等边三角形∴∠PQC＝60°（等边三角形的每一个角都是60°）∴∠PQC＝∠BCQ∴PQ∥BC（内错角相等，两直线平行）例4.如图：AB＝AC，BC∥DE，AD、AE分别交BC于点G、H，∠ADE＝∠AED。求证：BG＝CH证明： BC∥DE∴∠1＝∠ADE（两直线平行，同位角相等）同理，∠2＝∠AED又∠ADE＝∠AED∴∠1＝∠2（等量代换）∴AG＝AH（等角对等边）过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO∴BO＝CO（等腰三角形底边的高与底边的中线重合） AO⊥GH∴GO＝OH（同上）∴BG＝CH（等量代换）例5.如图ABC为等边三角形，D为CB的延长线上任一点，以AD为边作等边三角形ADE，求证：∠ABE＝∠ADE。证明： ABC与ADE均为等边三角形。∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝，∴∠EAD＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB即∠EAB＝∠DAC∴∴∠ABE＝∠C＝，∴∠ABE＝∠ADE.例6.已知如图在等边三角形ABC各边上分别取D、E、F，使AD＝BE＝CF，AE、BF、CD两两交于G、H、K三点，求证：GHK为等边三角形。证明： ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠BCF＝ AB＝BC，BE＝CF∴∴∠BAE＝∠CBF ∠ABF＋∠CBF＝，∴∠AGH＝∠BAE＋∠ABF＝同理：∠GHK＝∠HKG＝∴∠AGH＝∠GHK＝∠HKG∴GHK是等边三角形。例7.已知如图在RtABC，∠C＝，，求证：AB。证明：延长BC到D使得CD＝BC，连结AD在ACD和ACB中∴∴∠BAC＝∠DAC＝，AB＝AD，即∠DAB＝∴ABD是等边三角形∴BD＝AB CB＝BD∴CB＝AB例8.已知ABC中，AB＝AC，，AB的垂直平分线EF交AB于E交BC于F。求证：CF＝2BF。证明：连结AF EF为AB的垂直平分线∴BF＝AF∴∠BAF＝又 AB＝AC，∴∴∴RtAFC中，，AF＝CF又 AF＝BF，∴BF＝CF∴CF＝2BF拓广探索（1.通常作顶角平分线、底边中线、底边高线）例9.已知：如图AB＝AC，BD⊥AC于D，求证：。证明：作∠BAC的平分线AE，交BC于E则又 AB＝AC，∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB＝ BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB＝∴∠2＝∠DBC，∴（2.常延长一腰至等长，构造直角三角形解题）例10.已知如图在ABC中，AB＝AC，在BA延长线上取AE＝AF。求证：EF⊥BC。证明：延长BE至N，使AN＝AB，连结CN，则AB＝AN＝AC∴∠B＝∠ACB∠ACN＝∠ANC ∴∴即∴NC⊥BC AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE.又 ∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，∠BAC＝∠ACN＋∠ANC∴∠BAC＝2∠AEF＝2∠ANC，∴∠AEF＝∠ANC∴EF//NC∴EF⊥BC.3.构造等腰三角形例11.已知如图在ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC证明：延长AB至E，使BE＝BD，连结DE。则∠BED＝∠BDE ∠ABD＝∠E＋∠BDE∴∠ABC＝2∠E ∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C.在AED和ACD中∴∴AC＝AE AE＝AB＋BE∴AC＝AB＋BD即AB＋BD＝AC例12.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由。猜想：AE⊥BC，BD＝CD说理： AB＝AC(已...
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