平面向量的数量积及平面向量的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示;③了解平面向量的数量积与向量投影的关系;④掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;⑤理解数量积的性质,并能运用2018课标全国Ⅱ,4,5分平面向量的数量积模长★★★2015课标Ⅱ,4,5分平面向量的数量积坐标运算平面向量数量积的应用①能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;②会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系;③会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题2017课标全国Ⅰ,13,5分两向量垂直的充要条件坐标运算★★☆2017课标全国Ⅲ,13,5分两向量垂直的充要条件坐标运算2016课标全国Ⅲ,3,5分平面向量的夹角平面向量的数量积、坐标运算分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.(2019届湖南长沙雅礼中学9月月考,4)已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.2答案B2.已知点A,B,C满足|⃗AB|=3,|⃗BC|=4,|⃗CA|=5,则⃗AB·⃗BC+⃗BC·⃗CA+⃗CA·⃗AB的值为.答案-253.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且⃗BE=23⃗BC,⃗DF=16⃗DC,则⃗AE·⃗AF的值为.答案2918考点二平面向量数量积的应用1.(2017云南玉溪一中期中,9)在△ABC中,若动点P满足⃗CA2-⃗CB2+2⃗AB·⃗CP=0,则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心答案A2.(2019届广东普宁一中10月月考,14)已知|⃗OA|=2,|⃗OB|=4,⃗OA·⃗OB=4,则以向量⃗OA,⃗OB为邻边的平行四边形的面积为.答案4❑√33.(2019届湖北黄冈9月调研,15)已知平面向量m,n的夹角为π6,且|m|=❑√3,|n|=2,在△ABC中,⃗AB=2m+2n,⃗AC=2m-6n,D为BC的中点,则|⃗AD|=.答案24.(2019届广东深圳外国语中学10月模拟,17)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值.解析(1) a与b-2c垂直,∴a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinα·sinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=❑√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2=❑√17-15sin2β≤4❑√2,当且仅当sin2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4❑√2.炼技法【方法集训】方法1平面向量模长的求解方法1.(2017河北“五个一名校”联盟模拟,4)已知向量a,b满足:|a|=2,|b|=4,
=π3,则|3a-2b|=()A.52B.2❑√13C.❑√15D.2❑√3答案B2.(2019届湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于()A.1B.3C.4D.5答案D3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=()A.1B.❑√5C.2D.2❑√5答案D方法2平面向量夹角的求解方法1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量⃗BA=(12,❑√32),⃗BC=(❑√32,12),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A2.(2017江西七校联考,13)已知向量a=(1,❑√3),b=(3,m),且b在a的方向上的投影为-3,则向量a与b的夹角为.答案23π3.(2017吉林九校联考,14)已知e1,e2是夹角为120°的单位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影为-1,向量a与b的夹角为θ,则cosθ=.答案-❑√714方法3用向量法解决平面几何问题1.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且⃗OG·⃗BC=5,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能答案B2.(2019届江西临川一中9月月考,17)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(❑√22,-❑√22),n=(sinx,cosx),x∈(0,π2).(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)...
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