数列的综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列求和掌握数列的求和方法2014课标Ⅰ,17,12分数列求和(错位相减法)等差数列通项公式★★★2017课标全国Ⅲ,17,12分数列求和(裂项相消法)由Sn求an数列的综合应用能综合应用等差、等比数列解决相应问题2016课标全国Ⅰ,17,12分数列通项公式及求和等差数列的判定★★★分析解读综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.破考点【考点集训】考点一数列求和1.(2017湖南湘潭三模,9)已知Tn为数列{2n+12n}的前n项和,若m>T10+1013恒成立,则整数m的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.1023答案C2.(2017福建福州八中第六次质检,17)在等比数列{an}中,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1=3,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前2n项和S2n.解析(1)设等差数列{bn}的公差为d.则有{3+3d=3q,3+12d=3q2,解得{q=3,d=2或{q=1,d=0(舍去),所以an=3n,bn=2n+1.(2)由(1)知cn=(-1)n(2n+1)+3n,则S2n=(3+32+33+…+32n)+{(-3)+5+(-7)+9+…+[-(4n-1)]+(4n+1)}=3(1-32n)1-3+[(5-3)+(9-7)+…+(4n+1-4n+1)]=32n+1-32+2n.3.(2017湖南郴州二模,17)已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N*),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,an+2log2bn=-1.(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解析(1)设d为等差数列{an}的公差,则d>0.由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2(舍负),所以an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*),又因为an+2log2bn=-1,所以log2bn=-n,则bn=12n(n∈N*).(2)由(1)知an·bn=(2n-1)·12n,则Tn=121+322+523+…+2n-12n①,12Tn=122+323+524+…+2n-12n+1②,①-②,得12Tn=12+2×(122+123+124+…+12n)-2n-12n+1.∴12Tn=12+2×14(1-12n-1)1-12-2n-12n+1,∴Tn=1+2-22n-1-2n-12n=3-4+2n-12n=3-3+2n2n.考点二数列的综合应用1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1,公差与公比均为3,则ab1+ab2+ab3=()A.64B.32C.38D.33答案D2.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),且Sn为{an}的前n项和,则()A.an≥2n+1B.Sn≥n2C.an≥2n-1D.Sn≥2n-1答案B3.(2018福建福州八校联考,17)已知公差不为0的等差数列{an}的前三项和为6,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=1anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求使Sn<1415的n的最大值.解析(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d≠0),依题意可得{a1+a2+a3=6,a42=a2a8,即{a1+d=2,d2-a1d=0, d≠0,∴a1=1,d=1,∴an=n.(2)由(1)可得bn=1n(n+1)=1n-1n+1.∴Sn=(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1.令1-1n+1<1415,得n<14,∴n的最大值为13.4.(2018广东佛山一中期中考试,17)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=S2b2.(1)求an与bn;(2)证明:13≤1S1+1S2+…+1Sn<23.解析(1)设数列{an}的公差为d.因为{b2+S2=12,b1=1,q=S2b2,所以{q+6+d=12,q=6+dq.解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(2)证明:因为Sn=n(3+3n)2,所以1Sn=2n(3+3n)=23(1n-1n+1).故1S1+1S2+…+1Sn=23[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)]=23(1-1n+1).因为n≥1,所以0<1n+1≤12,所以12≤1-1n+1<1,所以13≤23(1-1n+1)<23,即13≤1S1+1S2+…+1Sn<23.炼技法【方法集训】方法数列求和的方法1.(2018河南中原名校11月联考,10)设函数f(x)满足f(n+1)=2f(n)+n2(n∈N*),且f(1)=2,则f(40)=()A.95B.97C.105D.392答案D2.(2019届吉林长春模拟,7)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,则数列{1an·an+1}的前6项和为()A.215B.415C.511D.1011答案A3.(2018广东珠海二中期中,18)已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2(bn+1-bn),n∈N*,bn=2n-1,且a1=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设cn=annbnn-1,Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.解析(1)...
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