圆锥曲线的综合问题挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点定点与定值问题①了解圆锥曲线的简单应用;②掌握解析几何中求解定点、定值问题的方法和步骤2017课标全国Ⅱ,20,12分轨迹方程,直线过定点椭圆方程,向量运算★★★2015课标Ⅱ,20,12分椭圆方程,定值问题椭圆的几何性质,点与椭圆、直线与椭圆的位置关系参变量的取值范围和最值问题①了解参变量的意义;②理解解析几何中求解范围和最值问题的基本方法;③理解函数思想和方程思想在圆锥曲线中的应用2018浙江,21,15分三角形的面积的取值范围椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系★★★2017山东,21,14分椭圆的方程,最值问题椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,函数思想存在性问题①理解圆锥曲线中存在性问题的基本解法;②理解转化思想在圆锥曲线中的应用2016课标全国Ⅰ,20,12分存在性问题直线与抛物线的位置关系★★☆2015湖北,22,14分椭圆方程,探求四边形面积最小值直线与椭圆的位置关系,弦长,函数思想分析解读从近几年的高考试题来看,直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合考查主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判断及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索性问题以及圆锥曲线间的联系等,同时着重考查学生分析问题及解决综合问题的能力,分值较高,难度较大.客观题以圆锥曲线间的联系为主,凸显知识的连贯性和综合性,着重考查函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用.在求解圆锥曲线综合问题时,需要较强的代数运算能力、图形认知能力、逻辑思维能力、数形之间的转化能力,在推理过程中要保持思维的逻辑性,确保结果正确完整.破考点【考点集训】考点一定点与定值问题1.(2019届云南昆明摸底考试,11)设点M为抛物线C:y2=4x的准线上一点(不同于准线与x轴的交点),过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点,设MA,MF,MB的斜率分别为k1,k2,k3,则k1+k3k2的值为()A.2B.2❑√2C.4D.4❑√2答案A2.(2018江苏启东模拟,20)设顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4),过P作抛物线的动弦PA,PB,并设它们的斜率分别为kPA,kPB.(1)求抛物线的方程;(2)若kPA+kPB=0,求证直线AB的斜率为定值,并求出其值;(3)若kPA·kPB=1,求证直线AB恒过定点,并求出其坐标.解析(1)依题意,可设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),因抛物线过点(2,4),故42=4p,解得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则kPA=y1-4x1-2=y1-4y128-2=8y1+4,同理,kPB=8y2+4,kAB=8y1+y2. kPA+kPB=0,∴8y1+4+8y2+4=0,∴8y1+4=8-y2-4,∴y1+4=-y2-4,∴y1+y2=-8,∴kAB=-1.∴直线AB的斜率恒为定值-1.(3) kPAkPB=1,∴8y1+4·8y2+4=1,∴y1y2+4(y1+y2)-48=0.直线AB的方程为y-y1=8y1+y2(x-y128),即(y1+y2)y-y1y2=8x.将y1y2=-4(y1+y2)+48代入上式得(y1+y2)(y+4)=8(x+6),由此可得该直线恒过点(-6,-4),命题得证.考点二参变量的取值范围和最值问题1.已知直线l:y=kx+2过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥4❑√55,则椭圆离心率e的取值范围是()A.(0,❑√55)B.(0,2❑√55]C.(0,3❑√55]D.(0,4❑√55]答案B2.(2019届河北百校联盟10月联考,20)已知直线过定点P(1,1),且与抛物线x2=4y交于A,B两点,l1,l2分别与抛物线相切于A,B两点,设l1,l2的交点为C.(1)求交点C的轨迹方程;(2)求三角形ABC面积的最小值.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线AB的斜率存在,设其方程为y=k(x-1)+1.联立{y=k(x-1)+1,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4+4k=0,∴x1+x2=4k,x1x2=4k-4.(3分) y'=x2,∴kAC=x12,直线AC的方程为y-y1=x12(x-x1),将y1=x124代入,化简得y=x12x-x124,所以直线AC的方程为y=x12x-x124.同理,直线BC的方程为y=x22x-x224,联立直线AC,BC的方程可得xC=x1+x22=2k,yC=x1x24=k-1,所以xC=2yC+2.所以点C的轨迹方程为x-2y-2=0.(6分)(2)由(1)知|AB|=❑√1+k2|x1-x2|=❑√1+k2❑√(x1+x2)2-4x1x2=4❑√1+k2❑√k2-k+1,点C到直线AB的距离d=|2k2-2k+2|❑√1+k2.(9分)故三角形ABC的面积S=12|AB|·d=4·(k2-k+1)32,当且仅当k=12时,面积有最小值,为3❑√32.(12分)考点三存在性问题(2017河北唐山模拟,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=❑√6...
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