双曲线及其性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点双曲线的定义及其标准方程了解双曲线的定义、几何性质和标准方程,知道它的简单几何性质2015课标Ⅰ,16,5分双曲线的定义双曲线的标准方程,三角形的性质★★★双曲线的几何性质2018课标全国Ⅱ,6,5分双曲线的渐近线双曲线的标准方程,离心率直线与双曲线的位置关系2018课标全国Ⅲ,10,5分双曲线的几何性质双曲线的标准方程,点到直线的距离分析解读从近几年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值约为5分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和几何性质是解决双曲线问题的关键.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及对数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点【考点集训】考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2018广东肇庆二模,4)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(4,0),且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为()A.x28-y28=1B.x216-y216=1C.y28-x28=1D.x28-y28=1或y28-x28=1答案A2.(2017天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1答案D3.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12答案C考点二双曲线的几何性质1.(2019届福建泉州五中11月月考,6)已知双曲线的方程为x24-y29=1,则下列关于双曲线的说法正确的是()A.虚轴长为4B.焦距为2❑√5C.离心率为❑√133D.渐近线方程为3x±2y=0答案D2.(2018河南信阳二模,4)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,❑√3),则双曲线的离心率为()A.2❑√33B.2C.2❑√33或2D.❑√3或2答案A3.(2015重庆,9,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()A.±12B.±❑√22C.±1D.±❑√2答案C考点三直线与双曲线的位置关系1.(2017贵州贵阳模拟,7)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x2-x1的最小值为()A.2❑√2B.2C.4D.3❑√2答案A2.若双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)的离心率为❑√2,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.(1)求k的取值范围;(2)若|AB|=6❑√3,求k的值.解析(1)由{ca=❑√2,a2=c2-1得{a2=1,c2=2,故双曲线方程为x2-y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由{y=kx-1,x2-y2=1得(1-k2)x2+2kx-2=0①. 直线与双曲线右支交于A,B两点,∴{1-k2≠0,Δ=(2k)2+8(1-k2)>0,x1+x2=-2k1-k2>0,x1x2=-21-k2>0,解得10,b>0)与椭圆x212+y24=1有公共焦点,且双曲线的一条渐近线方程为y=❑√3x,则该双曲线的方程为()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x26-y22=1D.x22-y26=1答案D2.(2018天津和平一模,6)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M.若△FOM的面积为❑√5,其中O为坐标原点,则双曲线的方程为()A.x2-4y25=1B.x22-2y25=1C.x24-y25=1D.x216-y220=1答案C3.已知双曲线的渐近线方程为y=±12x,且双曲线经过点A(2,-3),则双曲线的标准方程为.答案y28-x232=14.设动圆C与两圆C1:(x+❑√5)2+y2=4,C2:(x-❑√5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为.答案x24-y2=1方法2求双曲线的离心率(或取值范围)的方法1.(2017课标全国Ⅱ,5,5分)若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(❑√2,+∞)B.(❑√2,2)C.(1,❑√2)D.(1,2)答案C2.(2019届湖南湖北八市十二校第一次调研,8)...
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