第7讲不循常规巧解题有些数学问题，若用常规方法求解，比较复杂、繁琐，有时甚至难以奏效。如果采用非常规方法去解答，则会显得异常简捷明快。本文举例说明如下：一.不用一般用特值例1.设，则的值是（）A.B.1C.或D.3或分析：此题按常规解法，需要对a、b、c的值进行讨论，比较繁琐，且易混易漏解，采用取特值的方法要比常规方法简便得多。解：由不妨设则原式故选B。二.不按顺序按倒序例2.计算分析：若按常规解法是顺着依次运算，则难以奏效，若从后往前倒序计算，则变得非常轻松。解：原式三.不通分母通分子例5.由小到大排列各数：分析：此题按常规应将分母通分，使异分母分数变为同分母分数再比较大小。但通分分母数值实在太大，计算困难，不如通分分子，让分子相同，再比较大小显然容易。解：，因为故四.不求具体求整体例6.若，求的值。分析：此题按常规解法应先分别求出a、b、c的值，再代入求值式中计算求值很难完成，采用求值式变形为条件式，则简单易求。解：五.不用验证用排除例7.满足的一组自然数是（）A.B.C.D.分析：此题若用常规解法，需要把x、y的值一一代入方程验证，因数值较大，计算太繁，不如用排除法快捷。解：由于方程右端1982x必是偶数而1982x与1981y的差为1983（奇数）因此1981y和y只能是奇数故排除A、B、D，而选C。六.不先计算先归纳例8.计算：分析：此题若用常规方法直接计算，运算量实在太大，计算困难，不如“以退为进”，先对题设条件进行分析，找出规律，再运用规律求解来得方便。解：于是我们发现若干个从1开始的连续自然数的立方和，恰好等于这几个自然数的和的平方。在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1+÷-）÷（-）×1．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝==．练习11．-29×12=_________．2．1995减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依次类推，一直减到余下的，试求最后剩下的数．3．计算：4726342＋4726352－472633×472635－472634×472636．例2计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998998999-998×999999998．3．计算：×+．例3计算：Sn=++…++．分析将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到：①=-；②=（-）；③=[-]．解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由＝1+＝1+（-），知：＝1+（1-）=1+（-）…因此Sn=n+（1-）+（-）+…+（-）+（-）=n+1+--=．练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．+++…+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4计算：（++…+）（1+++…+）-（1+++…+）（++…+）．分析四个括号中均包含++…+，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设++…+＝A，则：原式＝（A+）（1+A）-（1+A+）·A＝A+A2++A-A-A2-A=．练习41．求S=1+3+32+33+…+32005．2．求1++++…+．3．比较：Sn=+（n是正整数）与2的大小．练习51．已知如下数表：12343456745678910…那么第200行所有数的和为__________．第二节凑整与分拆内容讲解在进行有理数运算时，根据参加运算的各数的特点，有意识地把参加运算的数“凑整”或“分拆”，使之方便“相互抵消”，达到简化运算的目的．所谓“凑整”，就是想办法将算式中的数凑成1，凑成整10，凑成整100，凑成整1000，…（或它们的倍数）．而通常采用的方法，多是加上（或减去）适当的数，乘以（或除以）适当的数．有时还可以先分解...
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