第7讲不循常规巧解题有些数学问题,若用常规方法求解,比较复杂、繁琐,有时甚至难以奏效。如果采用非常规方法去解答,则会显得异常简捷明快。本文举例说明如下:一.不用一般用特值例1.设,则的值是()A.B.1C.或D.3或分析:此题按常规解法,需要对a、b、c的值进行讨论,比较繁琐,且易混易漏解,采用取特值的方法要比常规方法简便得多。解:由不妨设则原式故选B。二.不按顺序按倒序例2.计算分析:若按常规解法是顺着依次运算,则难以奏效,若从后往前倒序计算,则变得非常轻松。解:原式三.不通分母通分子例5.由小到大排列各数:分析:此题按常规应将分母通分,使异分母分数变为同分母分数再比较大小。但通分分母数值实在太大,计算困难,不如通分分子,让分子相同,再比较大小显然容易。解:,因为故四.不求具体求整体例6.若,求的值。分析:此题按常规解法应先分别求出a、b、c的值,再代入求值式中计算求值很难完成,采用求值式变形为条件式,则简单易求。解:五.不用验证用排除例7.满足的一组自然数是()A.B.C.D.分析:此题若用常规解法,需要把x、y的值一一代入方程验证,因数值较大,计算太繁,不如用排除法快捷。解:由于方程右端1982x必是偶数而1982x与1981y的差为1983(奇数)因此1981y和y只能是奇数故排除A、B、D,而选C。六.不先计算先归纳例8.计算:分析:此题若用常规方法直接计算,运算量实在太大,计算困难,不如“以退为进”,先对题设条件进行分析,找出规律,再运用规律求解来得方便。解:于是我们发现若干个从1开始的连续自然数的立方和,恰好等于这几个自然数的和的平方。在有理数的运算中,除了一些常见的巧算方法外,还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等.例1计算:(-1+÷-)÷(-)×1.分析在运算中合理运用运算律,可以达到简化运算的目的.要做到合理,关键是仔细观察题中数之间的联系.解:原式===.练习11.-29×12=_________.2.1995减去它的,再减去余下的,再减去余下的,…依次类推,一直减到余下的,试求最后剩下的数.3.计算:4726342+4726352-472633×472635-472634×472636.例2计算:3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004.分析此题解法较多,如何根据其特点使运算简而巧是关键.这个题的特点是每一个数均是3的倍数,当提取公因数3后,很容易发现这个和实际上是由668个数组成,且可相邻的两个数为一组,组成334组就可解决.解法1:原式=3×(1-2+3-4+…+665-666+667-668)=3×[(1-2)+(3-4)+…+(665-666)+(667-668)]=3×(-334)=-1002.解法2:原式=(3-6)+(9-12)+…+(1995-1998)+(2001-2004)=-3×334=-1002.练习21.计算:1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004.2.计算:999×998998999-998×999999998.3.计算:×+.例3计算:Sn=++…++.分析将每一项拆成两项之差,使得总和中构成相反数的项相消.拆项中常常用到:①=-;②=(-);③=[-].解:先将假分数化成带分数,并适当拆项.由=1+=1+(-),知:=1+(1-)=1+(-)…因此Sn=n+(1-)+(-)+…+(-)+(-)=n+1+--=.练习31.1-22+32-42+…+992-1002+1012.2.+++…+=________.3.已知:P=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).那么P的个位数是________.例4计算:(++…+)(1+++…+)-(1+++…+)(++…+).分析四个括号中均包含++…+,我们可以用一个字母表示它,简化计算.解:设++…+=A,则:原式=(A+)(1+A)-(1+A+)·A=A+A2++A-A-A2-A=.练习41.求S=1+3+32+33+…+32005.2.求1++++…+.3.比较:Sn=+(n是正整数)与2的大小.练习51.已知如下数表:12343456745678910…那么第200行所有数的和为__________.第二节凑整与分拆内容讲解在进行有理数运算时,根据参加运算的各数的特点,有意识地把参加运算的数“凑整”或“分拆”,使之方便“相互抵消”,达到简化运算的目的.所谓“凑整”,就是想办法将算式中的数凑成1,凑成整10,凑成整100,凑成整1000,…(或它们的倍数).而通常采用的方法,多是加上(或减去)适当的数,乘以(或除以)适当的数.有时还可以先分解...