1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）教学目标1、会归纳正方形的特性并进行证明2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系教学重、难点重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点教学过程：一、情境创设这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？二、合作交流探索正方形的性质（1）边的性质：；（2）角的性质：；（3）对角线的性质：；（4）对称性：。例1、已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，A’D’交CD于点F，E是BC的中点。（1）求证：F是CD的中点（2）若正方形A’B’C’D’绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？分析：（1）方法一 OB=OC,E是BC的中点∴OE⊥BC,∠OEC=90° ∠EA’F=∠ECF=90°∴∠OFC=90° OC=OD∴F是CD的中点方法二 ∠EA’F=90°,AC⊥BD∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°∴∠EOC=∠DOF又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°∴△OCE≌△ODF(ASA)∴DF=CE=BC=CD,即F是CD的中点。（2）证明方法同前方法二。由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）练习如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（C）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE﹦∠BAE.求证：AF﹦BC+FC.CBEADF（第18题）A1A2A3A4例3、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。例4、已知正方形ABCD。（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。练习：1、（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1-D．1-2、已知：如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由．三、分层训练1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,则∠BEC=度.3、如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=。可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于。EPDCBAF_F_E_D_C_B_A4、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50.(2)∠AFC=112.50.(3)∠ACE=1350（4）AC=CE(5)AD∶CE=1∶.其中正确的有（）（A）5个（B）4个（C）3个（D）2个5、如图，在正...
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