二次函数y=ax2的图象和性质教学目标1.能够用描点法作出函数y=ax2的图象.2.经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,能根据图象认识和理解其性质,体会数形结合的思想和方法.教学重难点函数y=ax2的图象的画法,了解抛物线的含义,理解函数y=ax2的图象与性质.教学过程导入新课【导语一】回忆一次函数和正比例函数的定义,图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?【导语二】展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系呢?【导语三】用红色的乒乓球做投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?推进新课一、新知探究【问题1】画y=x2的图象:学生动手实践、尝试画y=x2和y=-x2的图象.教师分析,画图象的一般步骤:列表→描点→连线.教师在学生完成图象后,在黑板上示范性的画出y=x2的图象,如图.【问题2】在坐标系中,画出y=x2,y=2x2,y=-x2的图象.学生自己完成此题.教师做个别指导,在学生(大部分)完成后,教师可示范性地画出其中两个函数的图象.【问题3】共同探究:二次函数图象有何特征?结合图象介绍下列名称:①顶点;②对称轴;③开口及开口方向.画二次函数的图象的方法及应注意的问题:画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行:①列表、取值;②描点;③连线.但初学者对三个步骤易犯下列错误,注意避免.易错点1:表格中,取值过多或过少.画函数y=ax2的图象,取对应值时,一般取5组或7组有代表性的对应值即可.易错点2:连线不是光滑曲线,有的用折线,有的画的过渡不自然,不像抛物线.【问题4】比较图中三个抛物线的异同.相同点:(1)顶点相同,其坐标都为(0,0);(2)对称轴相同,都为y轴.不同点:开口大小不同,开口方向不同.【问题5】你能归纳出二次函数y=ax2的图象特征及性质吗?师生共同归纳y=ax2的图象特征及性质:(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线.(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点在原点.a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点.当x=0时,此函数取得最小值,y最小值=0.a<0时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点.当x=0时,此函数取得最大值,y最大值=0.(3)a>0时,在y轴的左侧是下降的,即x<0时,函数值y随x值的增大而减小;在y轴的右侧是上升的,即x>0时,函数值y随x值的增大而增大.a<0时,在y轴的左侧是上升的,即x<0时,函数值y随x值的增大而增大;在y轴的右侧是下降的,即x>0时,函数值y随x值的增大而减小.(4)|a|越大,抛物线y=ax2的开口越小.二、应用迁移1.抛物线y=2x2的顶点坐标是________,对称轴是________,在________侧,y随着x值的增大而增大;在________侧,y随着x值的增大而减小,当x=________时,函数y的值最小,最小值是________,抛物线y=2x2在x轴的__________方(除顶点外).2.抛物线y=-x2在x轴的________方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x值的________;在对称轴的右侧,y随着x值的________,当x=0时,函数y的值最大,最大值是________,当x________0时,y<0.三、拓展延伸1.二次函数y=ax2与y=2x2,开口大小,形状一样,开口方向相反,则a=________.2.在同一坐标系中:①y=x2,②y=-x2,③y=2x2这三个函数图象开口最大的是________,最小的是________,开口向下的是________.3.已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).(1)求此抛物线的函数解析式;(2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上;(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.本课小结1.本节所学知识:(1)二次函数y=ax2的图象的画法;(2)二次函数y=ax2的图象的特征及其性质.2.本节所用的方法:画图比较法.3.函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系?奥赛链接已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于__________.解析:将y=-2x+3代入y=x2,得x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1.所以A,B两点的坐标分别为A(-3,9),B(1,1).直线y=-2x+3与y轴的交点为C(0,3).S△AOC==,S△BOC==,所以S△OAB=S△AOC+S△BOC=6.答案:6