y圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x2y2例1：Q1,Q2为椭圆2b2b2线OD，求D的轨迹方程.1上两个动点，且OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂解法一（常规方法）：设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)，D(x0,y0),设直线Q1Q2方程为ykxm，ykxm联立x22b2y2b21化简可得:(2b2k2b2)x24kmb2x2b2(m2b2)0，所以x1x22b2(m2b2)2b2k2b2,y1y2b2(m22b2k2)2b2k2b2因为OQ1OQ2所以2b2(m2b2)b2(m22b2k2)2(m2b2)m22b2k2x1x2y1y22b2k2b22b2k2b22k212k21=03m22b2(1k2)又因为直线QQ方程等价于为yyx0(xxxx2)，即y0x0y对比于12000y0y0020000yyx0kykxm，则y0x代入中，化简可得：x2y22b2.30ymy00解法二（齐次式）：mxny1mxny1设直线Q1Q2方程为mxny1，联立x2y2x2y22b2b212b2b210x2y22x2y222222b2(mxny)b20化简可得:2b2mxb2ny2mnxy0整理成关于x,yx,y的齐次式：(22b2n2)y2(12m2b2)x24mnb2xy0，进而两边同时除以x2，则22222212m2b2(22bn)k4mnbk12mb0k1k222b2n212m2b2因为OQ1OQ2OQ1OQ2所以k1k21，22b2n2132b2(m2n2)又因为直线QQ方程等价于为yyx0(xxxx2)，即y0x0y对比于12000x0my0y0x2y22mxny1，则00y代入中，化简可得：x2y2b2.30nx2y200例2：已知椭圆x2241，设直线l不经过点P(0,1)的直线交于A,B两点，若直线PA,PB的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点.0解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py'，如图所示：旧坐标新坐标(x,y)(x',y')即(0,1)(0,0)x'xAA'所以y'y1BB'原来kk1y11y211则转换到新坐标就成为：y1'y2'1PAPBxxx'x'1212即k1'k2'1设直线l方程为：mx'ny'1原方程：x24y24则转换到新坐标就成为：x'24(y'1)24展开得：x'24y'28y'0x'构造齐次式：x'24y'28y'(mx'ny')0整理为：(48n)y'28mx'y'x'20两边同时除以x'2，则(48n)k'28mk'10所以k'k'8m1所以2m2n1mn11248n21x'而mx'ny'1(n)x'ny'1n(x'y')10对于任意n都成立.22x'y'0则：102x'2y'2，故对应原坐标为x2y1所以恒过定点(2,1).x2例3：已知椭圆y21，过其上一定点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭82圆于A,B两点，证明：直线AB斜率为定值.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py'，如图所示：旧坐标新坐标(x,y)(x',y')即(2,1)(0,0)所以x'x2AA'y'y1BB'原来kk0y11y210则转换到新坐标就成为：y1'y2'0PAPBx2x1x'x'1212即k1'k2'0设直线AB方程为：mx'ny'1原方程：x24y28则转换到新坐标就成为：(x'2)24(y'1)28展开得：x'24y'24x'8y'0构造齐次式：x'24y'24x'(mx'ny')8y'(mx'ny')0整理为：y'2(48n)x'y'(4n8m)(14m)x'20两边同时除以x'2，则(48n)k'2(4n8m)k'14m0所以k'k'4n8m0所以n2m1248n1而mx'ny'1mx'(2m)y'1mx2my10.所以k=21平移变换，斜率不变，所以直线AB斜率为定值.212112212121二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右顶点分别为F1,F2，线段OF1,OF2中点分别为B1,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过B1作直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程.x2y2解：（1）204（2）易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为：yk(x2)，P(x1,y1),Q(x2,y2)因为PBQB，则，22PB2QB2=0所以(x2,y)(x2,y)0(x2)(x2)k2(x2)(x2)0yk(x2)222现联立x2y2x2045k(x2)200则方程x25k2(x2)2200可以等价转化(15k2)(xx)(xx)012即x25k2(x2)220(15k2)(xx)(xx)令x2，480k220(15k2)(x12)(x22)(x12)(x22)80k21615k2令x2，4020(15k2)(x2)(x2)(x2)(x2)16121215k21结合(x12)(x22)k(x12)(x22)0化简可得：80k21615k216015k280k216k216064k216k21k142所以直线l方程为：y1(x2).22
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