第九讲不定方程一、二元不定方程的解法。枚举法，余数法。二、三元不定方程组的解法，三元不定方程的解法。1、解下面的不定方程，求出所有自然数解(1)(2)(3)(4)2、已知△和☆分别表示两个自然数,并且,△+☆=.[分析与解答]依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.3、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球个.[分析与解答]设箱子里共有n个乒乓球,二级品占.依题意,得整理得①易知15-4a>0,所以a≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).4、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了组.[分析与解答]设共分为x组.由树苗总数可列方程因为22=1×22=2×11,n是小于9的质数,对比上式得x=11(组).5、不定方程的自然数解是.[分析与解答]显然只能取1,2,3.当=1时,,其自然数解为x=2,y=4;x=5,y=2.当=2时,,其自然数解为x=3,y=1.当=3时,,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:6、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是.[分析与解答]8371692.设电话号码的前三位为x,后三位y,第四位为a(a≠0).由题意有①-②,化简得.当a=1时,x=837,y=692;当a≥2时,y<0,不合题意.所以电话号码为8371692.①②7、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为.已知a,b,c都小于10,a,b,c依次为,,.[分析与解答]由题意有.解这个不定方程,得.8、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的和全部咖啡(若干碗)的.那么,全家有口人.[分析与解答]设全家共喝了x碗牛奶和y碗咖啡,依题意得:整理得.易得其自然数解为x=2,y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.9、某单位职工到郊外植树,其中的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工人.[分析与解答]设有女职工x人,男职工y人,那么有孩子人.这个条件说明3|x+y.由已知即由12|4(x+y),12|72.所以12|y,又≤.所以,y=12,x=3.即有女职工3人.10、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有块.原来长方体的体积是立方分米.[分析与解答]画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为,则剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出,仅1面涂色彩正方体有:(块).原来长方体的体积为(立方分米).11、李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是元.[分析与解答]设支票上的元数与角、分数分别为x和y,则可列得方程xx,其中x,y为整数且0≤x,y<100.化简方程得由此推知2x
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