一、选择题1．(2012·秦皇岛质检)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝()A.B.C.D.解析：选D.因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝＝.2．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12解析：选C.根据题意可知：am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，因此有m＝11.3．(2012·太原调研)若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是()①{a2n}是等比数列；②{}是等比数列；③{lgan}是等差数列；④{lga}是等差数列．A．①③B．③④C．①②③④D．②③④解析：选C.∵an＝qn(q>0，n∈N*)，∴{an}是等比数列，因此{a2n}，{}是等比数列，{lgan}，{lga}是等差数列．4．(2011·高考天津卷)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．110解析：选D.∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A．13B．12C．11D．10解析：选B.设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，∴a1·an＝3，又Tn＝a1·a2·…·an－1·an，Tn＝an·an－1·…·a2·a1，∴T＝(a1·an)n，即7292＝3n，∴n＝12.二、填空题6．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.解析：由a2＝2，a4－a3＝4得方程组，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.又{an}是递增等比数列，故q＝2.答案：27．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：n≥2时，∵－＝0，∴an＝2an－1，∴q＝2.∴Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－28．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.解析：由等比数列的性质知，a1a2a3＝(a1a3)a2＝a＝5，a7a8a9＝(a7a9)a8＝a＝10，所以a2a8＝50.所以a4a5a6＝(a4a6)a5＝a＝()3＝(50)3＝5.答案：5三、解答题9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.解：(1)由题设知公差d≠0.由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得＝，解得d＝1，或d＝0(舍去)．所以{an}的通项公式为：an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.10．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．(1)求a3，a4，a5，a6的值；(2)求证：{bn}是等比数列．解：(1)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝a1a2·3n－1＝2·3n，∴a3＝＝6，a4＝＝9，a5＝＝18，a6＝＝27.(2)证明：∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1，∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…与a2，a4，a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列．∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1，∴bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1.∴＝＝3，故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列．11．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1.当n≥2时，有两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．(2)因为Sn＝＝a1·3n－a1，bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n.要使{bn}为等比数列，当且仅当1＋a1＝0，即a1＝－2.所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列．
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