一、选择题1．(2012·太原质检)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)·i为“等部复数”，则实数a的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：选A.由已知可得z＝(1＋ai)·i＝－a＋i，所以－a＝1，即a＝－1.2．(2010·高考江西卷)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为()A．x＝－1，y＝1B．x＝－1，y＝2C．x＝1，y＝1D．x＝1，y＝2解析：选D.由已知得(x－i2)＋(1－x)i＝y，根据复数相等的充要条件得x＝1，y＝2.3．复数z＝(m∈R)是纯虚数，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选A.由于z＝＝＝是纯虚数，因此2＋m＝0，m＝－2，选A.4．(2010·高考浙江卷)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．|z－|＝2yB．z2＝x2＋y2C．|z－|≥2xD．|z|≤|x|＋|y|解析：选D.|z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确．5．设f(n)＝()n＋()n(n∈Z)，则集合{f(n)}中元素的个数为()A．1B．2C．3D．无数个解析：选C.f(n)＝()n＋()n＝in＋(－i)n，f(0)＝2，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素．二、填空题6．如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是实数，则实数m＝________.解析：(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(1＋m3)i.于是有1＋m3＝0⇒m＝－1.答案：－17．已知复数z满足(3－4i)z＝5i，则|z|＝________.解析：因为(3－4i)z＝5i，所以z＝＝＝＝－＋i，故|z|＝＝1.答案：18．(2012·兰州调研)对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1、y1，x2、y2为实数)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．解析：设OP1＝x1＋y1i，OP2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，∵w1⊙w2＝0，由定义知x1x2＋y1y2＝0，∴OP1⊥OP2，∴∠P1OP2＝.答案：三、解答题9．计算：(1)；(2)＋.解：(1)＝＝－1－3i.(2)＋＝＋＝＋＝－1.10．已知复数z的共轭复数是，且满足z·＋2iz＝9＋2i.求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.∵z·＋2iz＝9＋2i，∴(a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋bi)＝9＋2i，即a2＋b2－2b＋2ai＝9＋2i，∴由②，得a＝1，代入①，得b2－2b－8＝0.解得b＝－2或b＝4.∴z＝1－2i或z＝1＋4i.11．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解：设z＝x＋yi(x、y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知，解得2
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