一、选择题1．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a∥bD．(a－b)⊥b解析：选D.|a|＝2，|b|＝，|a|≠|b|，A项错误；a·b＝(2,0)·(1,1)＝2≠，B项错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，且2×1－0×1≠0，所以C项错误；因为(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，选D.2．(2012·洛阳调研)已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：选D.由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝5，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C.由a＝(1,3)，b＝(－2，－6)得b＝－2a，因此(a＋b)·c＝－a·c＝5，设a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，因此θ＝120°.4．在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB等于()A．2B．3C．4D．6解析：选B.由题意可知，CM·CB＝(CA＋AB)·CB＝CA·CB＋AB·CB＝0＋×3×3cos45°＝3.5．(2012·石家庄调研)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2OA＋AB＋AC＝0(其中O为坐标原点)，又|AB|＝|OA|，则向量BA在向量BC方向上的投影为()A．1B．－1C.D．－解析：选C.由2OA＋AB＋AC＝(OA＋AB)＋(OA＋AC)＝OB＋OC＝0得，OB＝－OC，即O，B，C三点共线．又|AB|＝|OA|＝1，故向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cos＝.二、填空题6．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________．解析：由已知AB＝(1,1)，AC＝(－3,3)，AB·AC＝0，AB⊥AC，故△ABC为直角三角形．答案：直角三角形7．(2011·高考江西卷)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.又因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.答案：－68.(2010·高考天津卷)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝，|AD|＝1，则AC·AD＝________.解析：AC·AD＝(AD＋DC)·AD＝[AD＋(－1)BD]·AD＝[AD＋(－1)(AD－AB)]·AD＝AD2＋(－1)AD2－(－1)AB·AD＝1＋－1＝.答案：三、解答题9．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，求AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值．解：由题意知△ABC为直角三角形，AB⊥BC，∴AB·BC＝0，cos∠BAC＝，cos∠BCA＝，∴BC和CA夹角的余弦值为－，CA和AB夹角的余弦值为－，∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝20×(－)＋15×(－)＝－25.10．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．解：(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵AB＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)≠2－m，∴实数m≠时，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB⊥AC，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤)．(1)若AB⊥a，且|AB|＝|OA|，求向量OB；(2)若向量AC与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值为4时，求OA·OC.解：(1)由题设知AB＝(n－8，t)，∵AB⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵|OA|＝|AB|，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，∴OB＝(24,8)，或OB＝(－8，－8)．(2)由题设知AC＝(ksinθ－8，t)，∵AC与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ－)2＋.∵k>4，∴1>>0，∴当sinθ＝时，tsinθ取最大值为.由＝4，得k＝8，此时θ＝，OC＝(4,8)．∴OA·OC＝(8,0)·(4,8)＝32.
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