一、选择题1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a＋b＝()A．(3,0)B．(3,1)C．(3,2)D．(3,3)解析：选D.a＋b＝(1，k)＋(2,2)＝(3，k＋2)．∵a＋b与a共线，∴k＋2－3k＝0，解得k＝1.∴a＋b＝(3,3)．2．(2012·绵阳质检)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析：选A.由BD＝2DC得AD－AB＝2(AC－AD)，3AD＝AB＋2AC＝c＋2b，AD＝c＋b.3．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．－a＋bB.a－bC．－a－bD．－a＋b解析：选B.设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴，∴，∴c＝a－b.4．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：选D.∵A、B、C三点共线，∴存在实数t，满足AB＝tAC，即λa＋b＝ta＋μtb，又a，b是不共线的向量，∴，∴λμ＝1.5．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝()A．(－6,21)B．(－2,7)C．(6，－21)D．(2，－7)解析：选A.如图，QC＝AQ＝PQ－PA＝(1,5)－(4,3)＝(－3，2)，PC＝PQ＋QC＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，BC＝3PC＝(－6,21)．二、填空题6．设向量a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.解析：由题意，设a＋λb＝－μ(b－2a)＝－μb＋2μa，∴，∴.答案：－7．已知向量OA＝(0,1)，OB＝(1,3)，OC＝(m，m)，若AB∥AC，则实数m＝________.解析：AB＝(1,2)，AC＝(m，m－1)．∵AB∥AC，∴1×(m－1)－2m＝0，得m＝－1.答案：－18．(2012·合肥调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC＝OA＋OB，则＝________.解析：∵OC＝OA＋OB，∴OC－OA＝－OA＋OB＝(OB－OA)，∴AC＝AB，∴＝.答案：三、解答题9．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试以AB、AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD.解：由已知得：AB＝(1,3)，AC＝(2,4)，AD＝(－3,5)，BD＝(－4,2)，CD＝(－5,1)，∴AD＋BD＋CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．设AD＋BD＋CD＝λ1AB＋λ2AC，则(－12,8)＝λ1(1,3)＋λ2(2,4)，∴解得∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC.10．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：(1)∵OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，∴OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；若点P在第三象限，则解得t<－.(2)若四边形OABP为平行四边形，则OP＝AB，∴∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．11.在△AOB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝b，以a，b为基底表示OM.解：设OM＝ma＋nb(m、n∈R)，则AM＝OM－OA＝(m－1)a＋nb，AD＝OD－OA＝b－a，∵A、M、D三点共线，∴＝，即m＋2n＝1.而CM＝OM－OC＝(m－)a＋nb，CB＝OB－OC＝b－a，又C、M、B三点共线，∴＝，即4m＋n＝1.联立得，所以OM＝a＋b.
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