一、选择题1．在四边形ABCD中，AB＝DC，且|AB|＝|BC|，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形解析：选B.由AB＝DC，且|AB|＝|BC|知四边形ABCD为平行四边形且邻边相等，∴四边形ABCD为菱形．2.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()A.OHB.OGC.FOD.EO解析：选C.设a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现，a＝FO，因此选C.3.AB＋BC＋CA＝0是A、B、C为三角形三个顶点的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若点A、B、C共线，则不是三角形，反之，若是三角形，则有AB＋BC＋CA＝0.4．(2012·济南质检)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝()A．1B.C.D.解析：选D.AD＝AB＋BD＝AB＋BC，2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.故λ＋μ＝＋＝.5．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B.AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.二、填空题6．(2012·大同质检)设向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A、B、C共线；②A、B、D共线；③B、C、D共线；④A、C、D共线，其中所有正确结论的序号为________．解析：AC＝AB－CB＝4e1＋2e2，BD＝CD－CB＝3e1，由向量共线的充要条件b＝λa(a≠0)可得A、C、D共线，而其他λ无解．答案：④7．设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________．解析：设D为AC的中点，连接OD(图略)，则OA＋OC＝2OD.又OA＋OC＝－2OB，所以OD＝－OB，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为.答案：8．在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析：如图设AB＝a，AD＝b，则AC＝AB＋AD＝a＋b，AF＝AB＋BF＝a＋b，AE＝AD＋DE＝a＋b，∴AE＋AF＝(a＋b)＝AC，即AC＝AE＋AF.∴λ＝μ＝，λ＋μ＝.答案：三、解答题9．判断下列各题中的向量是否共线：(1)a＝4e1－e2，b＝e1－e2；(2)a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2，且e1，e2共线．解：(1)当a＝0时，则b＝0，显然b与a共线；当a≠0时，b＝e1－e2＝＝a，∴b与a共线．(2)当e1，e2中至少有一个为零向量时，显然b与a共线；当e1，e2均不为零向量时，设e1＝λe2，∴a＝(1＋λ)e2，b＝(2λ－2)e2，若λ＝－1，则a＝0，显然b与a共线；若λ≠－1，则b＝a，∴b与a共线．综上可知b与a共线．10．设i、j分别是平面直角坐标系Ox、Oy正方向上的单位向量，且OA＝－2i＋mj，OB＝ni＋j，OC＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．解：AB＝OB－OA＝(n＋2)i＋(1－m)j，BC＝OC－OB＝(5－n)i＋(－2)j.∵点A、B、C在同一条直线上，∴AB∥BC，即AB＝λBC，∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，∴，解得或.11．如图所示，E、F是四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，已知AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，求向量EF.解：连结AF，∵AC＝AB＋BC＝a＋b，∴AE＝AC＝(a＋b)．∵BD＝b＋c，∴BF＝BD＝(b＋c)，∴AF＝AB＋BF＝a＋(b＋c)，∴EF＝AF－AE＝a＋(b＋c)－(a＋b)＝(a＋c)．
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