一、选择题1．已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝()A.B．2C．3D.＋1解析：选B.∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2.2．(2012·郑州六校质量检测)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选A.依题意得＜cosA，sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．3．(2011·高考重庆卷)若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.B.C.D.解析：选D.由6sinA＝4sinB＝3sinC得sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4.设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由正弦定理知a∶b∶c＝2∶3∶4，不妨设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则cosB＝＝＝.4．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于()A.B.C.D．3解析：选C.∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.又a＝，cosA＝＝，解得c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.5．在△ABC中，已知A＝60°，b＝4，为使此三角形只有一个，则a满足的条件是()A．0＜a＜4B．a＝6C．a≥4或a＝6D．0＜a≤4或a＝6解析：选C.三角形有唯一解时，即由a，b，A只能画唯一的一个三角形(如图)．所以a＝bsinA或a≥b，即a＝6或a≥4.二、填空题6．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝_________；a＝________.解析：由tanA＝2得sinA＝2cosA.又sin2A＋cos2A＝1得sinA＝.∵b＝5，∠B＝，根据正弦定理，应有＝，∴a＝＝＝2.答案：27．(2011·高考课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝AB·BCsin120°＝×5×3×＝.答案：8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)·cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：依题意由正弦定理得：(sinB－sinC)·cosA＝sinA·cosC，即sinB·cosA＝sin(A＋C)＝sinB，∴cosA＝.答案：三、解答题9．(2012·成都调研)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A，B，C成等差数列，求角B的大小，并判断△ABC的形状．解：∵A，B，C成等差数列，A＋B＋C＝π，∴2B＝A＋C，∴B＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，①又∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.②由①，②知a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝，∴△ABC是等边三角形．10．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝.由正弦定理＝，可得＝.所以a＝.(2)因为△ABC的面积S＝acsinB，sinB＝，所以ac＝3，ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40，所以，a＋c＝2.11．(2011·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2.(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．解：(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝p2b2－b2－b2cosB，即p2＝＋cosB.因为0
0，所以
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