12.4复数1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)1．(2016·全国乙卷改编)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝________.答案－3解析 (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3.2．(2016·泰州模拟)已知复数z满足(3＋i)z＝10i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是__________．答案1－3i解析复数z＝＝＝1＋3i，则复数z的共轭复数是＝1－3i.3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是______．答案2＋4i解析 A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.4．i2011＋i2012＋i2013＋i2014＋i2015＋i2016＋i2017＝________.答案1解析原式＝i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＋i＝1.5．(教材改编)在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是____________．答案－3－4i解析CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.题型一复数的概念例1(1)(2016·无锡模拟)若复数z＝(1－i)(m＋2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为________．(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的____________条件．(3)(2016·天津)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．答案(1)－2(2)充分不必要(3)1解析(1)z＝m－mi＋2i＋2＝(m＋2)＋(2－m)i. z为纯虚数，∴m＝－2.(2)由解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．(3) (1＋i)z＝2，∴z＝＝1－i，∴其实部为1.引申探究将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2”改为“(1＋i)3z＝2”，求z的实部．解z＝＝＝－－i，∴z的实部为－.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(1)(2016·镇江模拟)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．(2)如果复数是实数，则实数m＝________.答案(1)(2)－1解析(1) |4＋3i|＝＝5，∴z＝＝＝＋i，虚部为.(2)因为＝＝是实数，所以＝0，所以m＝－1.题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2016·四川改编)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝________.(2)(2016·全国乙卷改编)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.(3)(2015·课标全国Ⅱ改编)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝________.答案(1)2i(2)(3)0解析(1)(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.(2)由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒⇒所以|x＋yi|＝＝.(3)因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0.命题点2复数的除法运算例3(1)(2016·全国丙卷改编)若z＝1＋2i，则＝________.(2)(2016·北京改编)...
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