第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题“任意偶数是2的倍数”的否定是________．解析：根据全称命题的否定是存在性命题进行求解．答案：存在偶数不是2的倍数2．命题“∃x∈R，x2＋x≤0”的否定是________．解析：∃x∈R，p(x)的否定是∀x∈R，¬p(x)．答案：∀x∈R，x2＋x>03．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.答案：(－∞，－2]4．(2019·无锡期中)若命题p：4是偶数，命题q：5是8的约数．则下列命题中为真的是________．①p且q；②p或q；③非p；④非p且非q.解析：命题p为真，命题q为假，故②为真．答案：②5．已知命题p：∃x∈R，使sinx＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．其中正确的序号是________．解析：命题p：∃x∈R，使sinx＝，错误，命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，正确．故②③正确，答案：②③6．(2019·连云港模拟)设命题p：函数y＝2sin是奇函数；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则p∧q是________命题．(填真或假)解析：因为y＝2sin＝2cosx是偶函数，所以命题p是假命题，由余弦函数的性质可知命题q是假命题．故p∧q是假命题．答案：假7．以下有关命题的说法错误的序号是________．①“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③对于命题p：∃x∈R使得x2＋x＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.解析：对于①，当x＝1时x2－3x＋2＝0，但x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，所以“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件；对于②，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，并非均为假命题；对于③，含量词命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再否定结论，故③正确．答案：②8．(2019·江苏省四校联考)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为.答案：9．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tanx≤m在区间上恒成立，即y＝tanx在上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.答案：110．已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，知0
0的解集为R，则解得a>.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．故或即a∈∪(1，＋∞)．答案：∪(1，＋∞)11．(2019·南通模拟)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ∈R，sinθ＋cosθ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是________．解析：因为y＝在R上是增函数，即y＝>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)≤，所以命题p2是假命题，¬p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题．答案：q1、q412．下列结论：①若命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧(¬q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．解析：①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(¬q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．答...
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