要点导学各个击破含量词的命题的否定(2014·南京模拟)命题“x∈R,x2-2x+2>0”的否定是.[答案]x∈R,x2-2x+2≤0[解析]由全称命题的否定知,命题“x∈R,x2-2x+2>0”的否定是“x∈R,x2-2x+2≤0”.(1)(2014·湖北模拟)已知命题p:x0∈(0,+∞),log2x0=1,那么¬p是.(2)若命题p:x∈R,sinx≤1,则¬p是.[答案](1)x∈(0,+∞),log2x≠1(2)x∈R,sinx>1含逻辑联结词命题的真假判定(2014·德州期末)给出下列四个命题:①x∈(0,+∞),x12>x13;②x∈(0,+∞),log2x12logx;④x∈10,3,x12<13logx.其中正确的命题是.(填序号)[答案]①②④[解析]①“x∈(0,+∞),x12>x13”是真命题,如x=2,14>19成立;②“x∈(0,+∞),log2xlo12gx”是假命题,如x=12,lo121g2=1>1212;④“x∈10,3,x121>x12.综上知,正确命题的序号是①②④.(2014·湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若xy2.在命题:①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题有.(填序号)[答案]②③[解析]当x>y时,两边乘以-1,得-x<-y,所以命题p为真命题.当x=1,y=2时,因为1=x20”是真命题,所以Δ=4-4m<0,解得m>1,故a的值是1.(2014·江西模拟)已知命题p:对任意的x∈[2,4],log2x-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0.若“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是.[答案]{a|a≤-2或a=1}[解析]若p真:a≤1,若q真:Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1.因为p且q是真命题,所以a≤-2或a=1.1.已知命题p:x∈R,x>sinx,那么命题p的否定是.[答案]x∈R,x≤sinx2.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是.[答案]任意一个无理数,它的平方都不是有理数3.(2014·绵阳模拟)已知命题p:2是有理数,命题q:空集是集合A的子集.下列判断正确的是.(填序号)①p∨q为假命题;②p∧q为真命题;③(¬p)∨(¬q)为假命题;④(¬p)∧(¬q)为假命题.[答案]④[解析]由题意知命题p是假命题,命题q是真命题,故p∨q是真命题,p∧q是假命题,(¬p)∨(¬q)是真命题,(¬p)∧(¬q)是假命题.4.有下列四个命题:①x∈R,x+1≥x;②x∈R,x+1≥x;③“正方形的四条边都相等”的否定是“存在正方形的四条边都不相等”;④“存在实数m,使x2+x-m=0有实数根”的否定.其中真命题是.(填序号)[答案]②[解析]①中,当x=4时,不满足;②正确;③否定是:存在正方形的四边不都相等;④“存在实数m,使方程x2+x-m=0有实根”为真命题,故其否定为假命题.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第5-6页).
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