初中数学巧作辅助线，妙解梯形题梯形问题，用以下几种辅助线，将梯形转化为三角形、平行四边形，可以化难为易、化繁为简，从而找到解决问题的捷径。1.作高例1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝45°，∠C＝30°，AB＝3，BC＝4，求梯形ABCD面积。图1解：过A、B两点分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别是E、F。在Rt△BCF中，∠C＝30°，BC＝4所以所以AE＝BF＝2在Rt△ADE中，∠D＝45°所以DE＝AE＝2易知四边形ABFE是矩形，故EF＝AB＝3，所以2.平移腰例2.如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝75°，∠D＝30°。图2求证AD＝DC－AB。证明：过点A作AE∥BC，交CD于E，则四边形ABCE是平行四边形，所以EC＝AB，∠AED＝∠C＝75°因为∠D＝30°所以∠DAE＝180°－30°－75°＝75°即AD＝DE又DE＝DC－EC所以AD＝DC－AB例3.如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，M、N分别是DC、AB的中点。图3求证。证明：过M作ME∥DA、MF∥BC，分别交AB于E、F，则四边形ADME、BCMF都是平行四边形，∠MEF＝∠A，∠MFE＝∠B因为∠A＋∠B＝90°所以∠MEF＋∠MFE＝90°，即△EMF是直角三角形又M、N分别是DC、AB的中点所以AE＝DM＝MC＝BF，AN＝BN所以EN＝FN且EF＝AB－CD所以。3.平移对角线例4.如图4，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BD，CH是高，MN是中位线。图4求证MN＝CH。证明：过点C作CE∥BD交AB延长线于E，则四边形BDCE是平行四边形。所以BE＝CD，CE＝BD因为四边形ABCD是等腰梯形所以AC＝BD，即AC＝EC又AC⊥BD所以AC⊥CE，△ACE是等腰直角三角形。所以，又所以MN＝CH4.作中位线例5.如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，且AE⊥BE。图5求证AD＋BC＝AB。证明：取AB的中点F，连结FE，则AD＋BC＝2EF因为∠AEB＝90°所以AB＝2EF所以AD＋BC＝AB5.延长两腰例6.如图6，在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，梯形AEFD的面积与梯形EBCF的面积相等。图6求证证明：延长BA、CD，相交于点O因为AD∥EF所以，所以。同理因为，所以，所以6.补形例7.如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，M是腰BC的中点。图7求证。证明：延长BA，使AF＝CD；延长CD，使DE＝AB，则CE，即四边形BCEF是平行四边形，取EF的中点P，连结PM交AD于N，连结PA、PD则PM∥FB∥EC，于是有。因为PM∥FB，M是BC的中点，所以N是AD的中点。所以，所以四边形AMDP是平行四边形，所以7.旋转对角线（或腰）例8.如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点。图8求证MN∥BC，证明：连结并延长AM，交BC于E，则△AMD≌△EMB所以AD＝BE，点M是AE的中点又N是AC的中点所以故。例9.如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝AB，E是CD的中点。图9求证AE⊥BE。证明：延长AE、BC相交于点F，易证△AED≌△FEC。所以AD＝CF，AE＝FE因为AD＋BC＝AB所以CF＋BC＝BF故BF＝BA所以BE是等腰△BAF底边上的高。所以AE⊥BE。
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