三角形（一）一、知识要点1、三角形ⅰ)三角形的角平分线、中线、高线为三种重要线段，理解①三角形有关概念及性质其性质并会画出内心、外心、垂心、重心ⅱ)三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边a、内角和180˚ⅲ)三角形中角的关系b、外角等于与它不相邻两内角和c、外角大于任一不相邻内角iv)面积公式按边分不等边三角形等腰三角形只有两边相等三边都相等(等边三角形)②三角形的分类掌握其判定、性质锐角三角形斜角三角形按角分钝角三角形直角三角形a、合30˚角直角三角形性质b、直角三角形斜边上中线性质c、勾股(逆)定理③全等三角形ⅰ)了解全等有关概念、性质以定义ⅱ)熟练掌握全等三角形的判定方法SASASAAAS（AAS）SSSHL(只用于Rt∆)ⅲ)熟练掌握全等三角形的性质：对应角等，对应线段(边、角平分线中线、高)相等ⅳ)命题、定理、逆命题、逆定理有关概念2、基本作图(尺规作图)二、例题分析例1、在∆ABC中，BC=2AC=7周长为奇数，求AB的长。分析：由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求出AB的范围，再求周长为奇数可确定AB的值。解：∵BC=2AC=7∴7-2＜AB＜7+2即5＜AB＜9∴AB=6、7、8又∵周长为奇数∴AB+BC+AC=AB+2+7=AB+9为奇数∴AB=6或8题后反思：利用三角形三边关系可以解决的问题①任意给出的三条线段能否构成三角形；②利用勾股逆定理，判定是否为Rt∆；③已知两边，可求出第三边的取值范围，再利用其它条件，可确定第三边的取值。例2、在∆ABC中，∠A=50˚(1)如图(1)∆ABC的两条高BD、CE交于O点，求∠BOC的度数(2)如图(2)∆ABC的两条角平分线BM、CN交于P，求∠BPC的度数AAENMDPO12B12CBC(1)(2)分析：(1)题中，由高可知有直角，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得∠BOC，亦可用四边形内角和去求。(2)题中，由角平分线定义及三角形内角和定理可求得∠BPC解：(1)法一：∵BD为∆ABC的高∴∠BDC=90˚∴∠1=90˚-∠BCA同理∠2=90˚-∠ABC∵∠ABC+AC=180˚-50˚=130˚∴∠BOC=180˚-(∠1+∠2)=180˚-(90˚-∠ABC+90˚-∠ACB)=180˚-180˚+∠ABC+∠ACB=130˚方法二∵BD︰CE为△ABC的高∴∠BDA=∠CEA=90˚∵∠A=50˚∴在四边形AEOD中∠DOE＝360˚－（90˚+90˚+50˚）＝130˚∴∠BOC＝∠DOE＝130（2）∵BMCN分别为△ABC的角平分线∴∠1＝∠ABC∠2=∠ACB∵∠A=50˚∴∠ABC+∠ACB=180˚-50˚=130˚∴∠BPC=180˚-(∠1+∠2)=180˚-(∠ABC+∠ACB)=180˚-(∠ABC+∠ACB)=180˚-×130˚=115˚题后反思：凡是求角度的题，一般都离不开三角形（多边形）内角和定理及，设法利用这些去推出等量关系。题中应设及到高线，别忘了两锐角互余，遇到角平分线要合理利用其倍分关系。例3、如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC求∠B︰∠C的值ABDC分析：欲求∠B︰∠C的值，直接支求显然不易，我们可以从AB+BD＝AC的突，破点线段的和问题，往往用截长法，或补短法解决通过截长或补短可得到等量线段，再利用等边对等角去处理此问题。解法一：（截长法）：在AC上截取AE＝AB连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1＝∠2在△ABD和△AED中AAB＝AE∠1＝∠212AD＝AD4∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝DE∠4＝∠BB3C∵AC＝AB+BD且AE＝ABD∴EC＝BD∴DE＝EC∴∠3＝∠C∴∠4＝∠3＋∠C＝2∠C∴∠B＝2∠C∴∠B︰∠C＝2︰1解法二：（补短法）延长AB经E，使BE＝BD，连接DE∴∠E＝∠3∵AC＝AB+BD∵AC＝AB＋BE＝AEA∵AC平分∠BAC∵∠1＝∠212在△ADE和△ADC中AE＝ACBC∠1＝∠23DAD＝AD∴△ADE≌△ADC（SAS）∴∠E＝∠C∵∠ABC＝∠E＋∠3＝2∠EE∵∠ABC＝2∠E∴∠B︰∠C＝2︰1题后反思：此题实际上代表一类题，在利用（或证明）诸如一条线段a等于两线段b、c和对（或a-b=c可能a为a=b+c）通常采用上述两种方法：所增截长法，就是在线段a上截取一段等于b（或c）然后证明余下的一段等于c(或b)；所谓补短法，就是延长线段b（或c使延长部分等于c（或b），再证明它们的和等于a。此题应改为‘在△ABC中，AD平分∠BAC且∠B︰∠C＝2︰1。求证AB+BD＝AC。’证明基本相似，同学们不妨试一试。课堂练习：1.已知：如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，求证：CE=DF2.已知：如图，AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，∠DAB=∠EAC求证：AM=AN3.如图，在△ABC中，两外角的平分线BD、CD相交于D，求证：AD平分∠BAC。
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