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初三数学谈梯形辅助线的作法学法指导VIP专享VIP免费

初三数学谈梯形辅助线的作法学法指导_第1页
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谈梯形辅助线的作法刘厚卓张德英梯形是一种特殊的四边形,它是平行四边形和三角形的“综合”。可以通过适当地添加辅助线,构造三角形、平行四边形,再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中作辅助线的常用方法作一介绍,供参考。一、平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,构造一个三角形和一个平行四边形,能使分散的条件集中起来,为解决梯形问题创造条件。例1如图1,等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长,那么这个梯形较小的一个内角是()A、90°B、60°C、45°D、30°解析:由条件“两底之差等于一腰的长”,可平移一腰。如图2所示,平移DC到AE,AE交BC于E。可知BE=BC-AD=AB。又AB=DC=AE,故AB=BE=AE,△ABE是等边三角形。所以∠B=60°。故选B。二、平移两腰平移两腰,使两腰交于短底上一点,把梯形转化为两个平行四边形和一个三角形,进而解决问题。例2如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC。E、F分别为AD、BC的中点,且EF⊥BC。求证:∠B=∠C。解析:要证∠B=∠C,可把它们移到同一个三角形中,利用等腰三角形的有关性质加以证明。过点E作EH∥AB,EG∥DC,分别交BC于H、G(如图4)。∵AD∥BC,∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形(两组对边平行)。∴AE=BH,ED=GC。又E、F分别为AD、BC的中点,所以AE=ED,BF=FC。∴BH=GC,BF-BH=FC-GC,从而HF=FG。又EF⊥BC,所以EH=EG,故∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。评析:题目中若有连接两底上点的线段,通常要平移两腰。三、平移对角线过梯形底边的一个端点作某一条对角线的平行线,可以构造出一个三角形和一个平行四边形,引出解题思路。例3在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BC,且AC=5cm,BD=12cm,则梯形中位线的长等于()A、7.5cmB、7cmC、6.5cmD、6cm解析:由对角线垂直,可平移一条对角线(比如AC),构造出Rt△BDE和ACED(如图5)。由勾股定理可知BE=13cm,从而得到梯形中位线的长等于BE的一半,即为6.5cm。故选C。四、延长两腰延长两腰相交于一点,可构造两个三角形,再利用这两个三角形的性质解决问题。例4在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD+BC=30,BD平分∠ABC。求梯形的周长。解析:延长两腰相交于点E,如图6,因∠ABC=∠BCD=60°,故∠E=60°。△BCE为等边三角形。又BD平分∠ABC,所以BD垂直平分CE。所以CD=。又AD∥BC,故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。五、作梯形的高过梯形短底的两个端点作梯形的高,把梯形分成两个直角三角形和一个矩形,可使解题思路明朗化。例5已知等腰梯形的一个内角为60°,它的上底是3cm,腰长是4cm,则下底是。解析:如图7,梯形ABCD中,∠B=∠C=60°,AD=3cm,AB=DC=4cm,过点A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F。则有∠BAE=∠CDF=30°,BE=FC=AB=2cm,∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm),即为所求。六、连接两腰中点若题目中有一个或两个腰的中点,可尝试连接梯形两腰的中点,得到梯形的中位线,利用中位线的性质解题。例6在梯形ABCD中,AB∥CD,点M为BC的中点,DM平分∠ADC。求证AM平分∠DAB。解析:如图8,取DA的中点N,连接MN,则MN∥CD,MN∥AB。所以∠NMD=∠MDC=∠MDN。故NM=ND=AN,∠NAM=∠NMA=∠MAB。故AM平分∠DAB。练习1、等腰梯形两底差的一半等于它的高,那么这个梯形的一个内角是()。A、75°B、60°C、45°D、30°2、如图9,已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,M、N分别是AB、CD的中点。求证:MN=(AB-CD)。3、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,求此梯形的高。4、如图10,在梯形ABCD中,∠DCB=90°,AB∥DC,AB=25,BC=24。将该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕。那么,AD的长为。5、例6变式练习:条件不变,结论改变。求证:(1)AM⊥DM;(2)AB+CD=AD。提示:1、利用第五种作法。2、利用第二种作法,并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3、利用第三种作法,由勾股定理逆定理得出直角三角形,并利用面积公式(a、b为直角边长,c为斜边长,h是斜边上的高)。4、先在Rt△BCD中求出DC,再自D作DF⊥AB于F。在Rt△ADF中求AD。

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