§19.4.逆命题与逆定理3．角平分线教学目的：角平分线定理及逆命题的应用重点与难点：角平分线定理及逆命题的应用教学过程：回忆我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？如图19．4．4，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折，通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE．于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，这个命题是否是真命题呢？即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．已知：如图19．4．5，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析：为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到∠AOQ＝∠BOQ．于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．从图19．4．6中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．请你完成证明．课堂练习：1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．（第1题）（第2题）2．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．课堂小结：总结一下你所学过的知识作业
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