第12讲等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】例1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.6个B.7个C.8个D.9个练习：1、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。2、如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。3、如图，在△ABC中，∠B=35°，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，试问能否求出∠CAF的度数？若能，则求出其度数；若不能，请说明理由.例2已知：如图，中，于D。求证：。说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。例3.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。ABCDEF练习：如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，求证：AE=BE．例4.如图，中，，BD平分。求证：。【实战模拟】1.选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对2.如图，是等边三角形，，则的度数是________。3.已知：如图，在中，，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。4.中，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，AF⊥BC于点F，求证：。
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