第10讲全等三角形及其应用【知识精读】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；3.通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；图（1）图（2）图（3）旋转如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。4.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理5.注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.练习：1.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．2、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。(2)证明线段相互垂直例2：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰直角三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。（3）证明线段平行例3：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD（4）构造全等三角形解决周长问题例4.已知：如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。（5）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例5：如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE练习：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．【实战模拟】1.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。2．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．3、如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于NE，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．求证：BD＝CG．
VIP
