等腰三角形的轴对称性(2)预习目标1．知道判定一个三角形是等腰三角形的条件．2．掌握等边三角形的轴对称性及性质．3．知道判定一个三角形是等边三角形的条件．教材导读阅读教材P62～P63内容，回答下列问题：1．判定等腰三角形的条件如图①，在△ABC中，∠B＝∠C．方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC．因此，有两个角_______的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．2．等边三角形的概念与性质(1)三边_______的三角形叫做等边三角形或正三角形．(2)等边三角形的轴对称性等边三角形_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴有_______条，分别是_______．(3)等边三角形的各角都等于_______．如图②，△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，AB＝BC．．∴∠B＝∠_______，∠A＝∠_______．∴∠A＝∠B＝∠C．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴3∠A＝_______°，即∠A＝60°．∴∠B＝∠C＝60°．因此，等边三角形的每个内角都等于_______°3．判定等边三角形的条件(1)如图②，在△ABC中，若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则BC＝_______，AB＝_______．．所以BC＝AC＝AB，从而△ABC是等边三角形．由此可得，三个角_______的三角形是等边三角形．(2)如图②，在△ABC中，若∠A＝60°，AB＝AC，则根据三角形内角和为180°，得∠B＝∠C＝_______°，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°．所以△ABC是等边三角形．由此可得，有一个角是_______°的等腰三角形是等边三角形，例题精讲例1如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．求证：BD＋EC＝DE．提示：先设法找出图中相等的角，再利用“等角对等边”，即可找出相等的线段进行代换．解答：∵DE∥BC，∴∠3＝∠2．又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∴∠1＝∠3．∴DB＝DF．同理，EF＝EC．∴BD＋EC＝DF＋EF，即BD＋EC＝DE．点评：当题目中出现平行线和角平分线时，通常先用内错角进行角的转化，再运用“等角对等边”得到等腰三角形．同学们不妨在平时的解题中留心验证．例2如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC．(1)求∠ECD的度数．(2)若EC＝5，求BC的长．提示：(1)根据ED所在的直线是线段AC的垂直平分线，可得AE＝EC，因此∠A＝∠ACE．(2)由已知条件可以求出∠B＝72°，∠BEC＝72°，即∠B＝∠BEC，从而运用“等角对等边”求得BC的长．点评：本题综合考查了等腰三角形的性质和判定方法，以及线段垂直平分线的性质，是一道小型的综合题．例3如图，D是等边三角形ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE．找出图中的一组全等三角形，并说明理由．提示：利用等边三角形三边相等，三个角都是60°来找全等三角形．点评：在利用等边三角形的性质解题时，不仅要考虑到三边相等，而且要注意到三个角都是60°．本题用到两个相等的60°角减去同一个角得到的两个角仍然相等，有时用两个相等的60°角加上同一个角得到的两个角仍然相等，同学们在平时解题中要多留心．热身练习1．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰好在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是_______cm．2．如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝_______．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC－3BD，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_______．4．如图，BC＝BD，∠C＝∠D，你能判断AC与AD的数量关系吗？请说明理由．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．(1)求∠DAC的度数．(2)求证：DC＝AB．6．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．参考答案1．152．15°3．24．AC＝AD5．(1)75°(2)略6．略
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