拼图验证勾股定理及勾股定理中的数学思想【本讲教育信息】一.教学内容：拼图验证勾股定理及勾股定理中的数学思想勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，在现实世界中有广泛应用。在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。二.重点、难点：1.理解拼图验证勾股定理的思维方法。2.体会勾股定理中的数学思想。三.知识要点：1.一种证明：拼图验证勾股定理1）如图（1）一个张由两个正方形拼成的硬纸片。只许用剪刀剪两刀，把它分开，然后拼成一个正方形。图（2）中，剪了两刀，分成三块，拼成了一个大正方形。图（3）（4）中，剪了两刀，分成四块，拼成了一个大正方形（1）你能判断出这两刀是如何剪的吗？（2）你能否把图（1）剪三刀，把它分开，然后拼成一个大正方形？答：（1）两刀互相垂直，且至少有一刀剪得的线段长是以两个正方形的边为直角三角形的两直角边的斜边的长；（2）仿照（1）的规律，作法，如图（5）2）勾股定理的面积证法：“赵爽弦图”如图（a）把边长a、b的两个正方形连在一起，则它的面积是a2+b2，另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，拼的过程如下，把图（a）中左右两个直角三角形△移动，组成如图（b）的形状，所以它们的面积相等；因此a2+b2=c22002年8月20日北京国际数学大会的会标，就是“赵爽弦图”如图（b）2.几类思想：①整体思想②转换思想③分类思想④方程思想⑤数形结合思想（含补形与分割的思想）【典型例题】整体思想例1.如图，已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。分析：若要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较繁。但由联想到运用整体思想（将ab视为一个整体），问题便可顺利获解。解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得即又由已知得所以解得所以转换思想例2.如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为5，4，3的长方体的一个顶点A沿着表面爬行到与之最远的另一个顶点G，最短路程是多少？分析：有六种方式对长方体表面进行剪开铺平求解。究竟哪条线路最短，下面逐一解答再比较。解：（1）剪开FG、GC、CB铺平得。（2）剪开HG、GC、CD铺平得。（3）剪开EF、FG、GH铺平得。（4）剪开FB、FG、CG铺平得。（5）剪开FG、GH、HE铺平得。（6）剪开DH、HG、GC铺平得。因此最短路程为，这样的路线有两条。由此我们知道，若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且时，最短路程就是。分类思想例3.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。解：由于三角形的形状不确定，所以求BC的长可以从以下两方面考虑：（1）如图，当BC边上的高线在△ABC内部时，由勾股定理，得所以（2）如图，当BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得此时综上所述，BC的长为25或7。方程思想例4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD的长。分析：在Rt△ABC中，由勾股定理容易求出AC的长，再根据三角形的面积关系构造方程，则问题便水到渠成。解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得因为△ABC的面积即所以数形结合思想例5.如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。如图：（1）以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？（3）如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下图，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）解：（1）中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3（2）类似于（1）：S1+S2=S3（3）图中阴影部分的面积是S1+S2+S△ABC-S3∴S阴影=S△ABC例6.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A...
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