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八年级数学下册 课后补习班辅导 轴对称性的应用讲学案 苏科版-苏科版初中八年级下册数学学案VIP专享VIP免费

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轴对称性的应用【本讲教育信息】一.教学内容:轴对称性的应用[目标]研究轴对称性及其相关性质,进行实际问题的应用。二.重点、难点:深刻体会轴对称性,来解决现实中的实际问题。常用知识点:①线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。②三角形两边之和大于第三边。【典型例题】例1.请找出下列符号所蕴含的内在规律,然后在横线上设计一个恰当的图形。(哈佛大学77年入学考试试题)分析:这几幅图分别是阿拉伯数字1、2、3、4、7在右半边,然后,通过轴对称画出左半边的图像。你看出来了吗?那么横线上就应该是6,然后按照轴对称性画出左半边的图。那么按照这种规律,接下来还有什么样的图像呢?你会画吗?例2.如图,有20根钉子,相邻两个钉子间的距离等于1cm,请从1号钉子开始到2号钉子为止绷上一根19cm长的线,使得这根线通过所有的钉子。解:如图所示。例3.如图,牧童在处放牛,其家在处,到河岸的距离分别为,且,若到河岸CD的中点的距离为500m。(1)牧童从处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?在图中作出该处,并说明理由;(2)最短路程是多少?解:(1)已知直线同侧两点、。求作:上一点,使最小。作法:①作点关于的对称点;②连结交于点,则点即为所求的点。证明:在上任取一点,连结, 直线是、的对称轴,、在上,∴,∴,在中,,∴,即最小。(2)由(1)可得:,∴≌,∴,即为的中点且, ,∴最短路程为。例4.如图,OA、OB是两条相交的公路,点P是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立一个投递点,要想使邮电员每次投递路程最近,问投递点应设立在何处?作法:①作点P关于直线AO的对称点M,作点P关于直线BO的对称点N;②连结MN分别交AO、BO于E、F;③连接EF、PE、PF,△PEF即为所求三角形。证明:在AO上任取一点E',连结ME'、FE'、PE'。 M是P关于直线AO的轴对称点,∴PE=ME,PE'=ME'。在中,∴即的周长的周长。同理,在BO上任取一点F'亦可证的周长的周长。∴的周长最小。例5.如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?作法:设a、b的距离为r。①把点B竖直向上平移r个单位得到点B';②连接AB',交a于C;③过C作CDb于D;④连接AC、BD。证明: BB'∥CD且BB'=CD,∴四边形BB'CD是平行四边形,∴CB'=BD∴AC+CD+DB=AC+CB'+B'B=AB'+B'B在a上任取一点C',作C'D',连接AC'、D'B,C'B'同理可得AC'+C'D'+D'B=AC'+C'B'+B'B而AC'+C'B'>AB'∴AC+CD+DB最短。例6.在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上一定点,则当点P运动到何处时,△PBE的周长最小?作法:连接DE交AC于Q,当P运动到Q点处时,△PBE的周长最小。证明:连接BQ。 P、Q都在正方形对角线AC上,∴PB=PD,QB=QD∴BP+PE=DP+PE,BQ+QE=DQ+QE=DE而DP+PE>DE∴BP+PE>BQ+QE又△PBE的周长=BE+BP+PE,△QBE的周长=BE+BQ+QE∴△PBE的周长>△QBE的周长即当P运动到Q点处时,△PBE的周长最小。【模拟试题】(答题时间:30分钟)1.将一张正方形的纸片按下图方式三次折叠,沿MN裁剪,则可得()(A)多个等腰直角三角形(B)一个等腰直角三角形和一个正方形(C)两个相同的正方形(D)四个相同的正方形2.请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成轴对称图案。3.设正三角形ABC的边长为2,M是AB上的中点,在BC边上找一点,使PA+PM的值最小?4.如图,A、B是直线a同侧的两定点,定长线段PQ在a上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短?5.如图,P为△AOB内一点,试在OA,OB上各找一点M、N。使△PMN周长最小。【试题答案】1.D。动手做做看2.如图所示。长方形是轴对称图案。3.解:取点A关于BC的对称点A',连接MA’交BC于P,连接PA、PM证明:在BC上任取一点P',连接P'A、P'M由对称性知:PA=PA',P'A=P'A'∴PA+PM=PA'+PM=MA',P'A+P'M=P'A'+P'M又MA'

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