轴对称性的应用【本讲教育信息】一.教学内容：轴对称性的应用［目标］研究轴对称性及其相关性质，进行实际问题的应用。二.重点、难点：深刻体会轴对称性，来解决现实中的实际问题。常用知识点：①线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。②三角形两边之和大于第三边。【典型例题】例1.请找出下列符号所蕴含的内在规律，然后在横线上设计一个恰当的图形。（哈佛大学77年入学考试试题）分析：这几幅图分别是阿拉伯数字1、2、3、4、7在右半边，然后，通过轴对称画出左半边的图像。你看出来了吗？那么横线上就应该是6，然后按照轴对称性画出左半边的图。那么按照这种规律，接下来还有什么样的图像呢？你会画吗？例2.如图，有20根钉子，相邻两个钉子间的距离等于1cm，请从1号钉子开始到2号钉子为止绷上一根19cm长的线，使得这根线通过所有的钉子。解：如图所示。例3.如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为，且，若到河岸CD的中点的距离为500m。（1）牧童从处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短?在图中作出该处，并说明理由；（2）最短路程是多少?解：（1）已知直线同侧两点、。求作：上一点，使最小。作法：①作点关于的对称点；②连结交于点，则点即为所求的点。证明：在上任取一点，连结， 直线是、的对称轴，、在上，∴，∴，在中，，∴，即最小。（2）由（1）可得：，∴≌，∴，即为的中点且， ，∴最短路程为。例4.如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？作法：①作点P关于直线AO的对称点M，作点P关于直线BO的对称点N；②连结MN分别交AO、BO于E、F；③连接EF、PE、PF，△PEF即为所求三角形。证明：在AO上任取一点E'，连结ME'、FE'、PE'。 M是P关于直线AO的轴对称点，∴PE=ME，PE'=ME'。在中，∴即的周长的周长。同理，在BO上任取一点F'亦可证的周长的周长。∴的周长最小。例5.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？作法：设a、b的距离为r。①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'；②连接AB'，交a于C；③过C作CDb于D；④连接AC、BD。证明： BB'∥CD且BB'＝CD，∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B'同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B而AC'＋C'B'>AB'∴AC＋CD＋DB最短。例6.在正方形ABCD上，P在AC上，E是AB上一定点，则当点P运动到何处时，△PBE的周长最小?作法：连接DE交AC于Q，当P运动到Q点处时，△PBE的周长最小。证明：连接BQ。 P、Q都在正方形对角线AC上，∴PB=PD，QB=QD∴BP+PE=DP+PE，BQ+QE=DQ+QE=DE而DP+PE>DE∴BP+PE>BQ+QE又△PBE的周长=BE+BP+PE，△QBE的周长=BE+BQ+QE∴△PBE的周长>△QBE的周长即当P运动到Q点处时，△PBE的周长最小。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.将一张正方形的纸片按下图方式三次折叠，沿MN裁剪，则可得（）（A）多个等腰直角三角形（B）一个等腰直角三角形和一个正方形（C）两个相同的正方形（D）四个相同的正方形2.请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形（至少4块），然后将它们重新组合，拼成轴对称图案。3.设正三角形ABC的边长为2，M是AB上的中点，在BC边上找一点，使PA+PM的值最小?4.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？5.如图，P为△AOB内一点，试在OA，OB上各找一点M、N。使△PMN周长最小。【试题答案】1.D。动手做做看2.如图所示。长方形是轴对称图案。3.解：取点A关于BC的对称点A'，连接MA’交BC于P，连接PA、PM证明：在BC上任取一点P'，连接P'A、P'M由对称性知：PA=PA'，P'A=P'A'∴PA+PM=PA'+PM=MA'，P'A+P'M=P'A'+P'M又MA'
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