等腰三角形和等边三角形的轴对称性【本讲教育信息】一.教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性［目标］探索等腰三角形及其特殊形式——等边三角形的轴对称性及其相关性质。二.重、难点：1.等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件；2.等边三角形的概念及其性质。三.知识要点：1.等腰三角形（1）等腰三角形是轴对称图形。顶角平分线所在直线是它的对称轴。（2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法）①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。（简称“三线合一”）②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”）☆（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2.等边三角形（a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。（b）等边三角形特殊的性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于。（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）【典型例题】例1.已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（）（A）2，2，6（B）3，3，4（C）4，4，2（D）3，3，4或4，4，2分析：可采用排除法。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。2，2，6不满足；而3，3，4或4，4，2都满足题意。答：选D。例2.O为锐角△ABC的∠C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则△POQ一定是（）（A）等边三角形（B）等腰三角形（C）直角三角形（D）等腰直角三角形分析：设OP、OQ分别交AC、BC于E、F，由线段的对称轴是它的垂直平分线知：OEAC，且OE＝OP；同理OFBC，且OF＝OQ；由角平分线的性质知：OE＝OF，则OP＝OQ。∴△POQ一定是等腰三角形答：选B例3.（1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm，那么斜边长等于_________。（2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于，则这个等腰三角形的顶角等于_______，底角等于__________。（3）等边三角形的周长是30cm，一边上的高是8cm，则三角形的面积为_____________。解：（1）设斜边长为cm，则直角边长为，根据题意，。解得cm（2）设顶角的一个外角为，则。而顶角的一个外角等于一个底角的2倍，所以等腰三角形的底角等于，顶角等于。（3）等边三角形三边相等，则其边长为，∴例4.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的三个内角的度数。（考虑两种情况）解：①设等腰三角形的底角为，则顶角为，则解得：＝∴＝②设等腰三角形的顶角为，则底角为，则解得：＝∴＝综上可得：三个内角的度数分别为，，或，，。例5.如图所示，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数。解：设∠EBD＝， DE＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝，∴∠AED＝∠EDB+∠EBD＝2（三角形外角＝不相邻的两个内角和） AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝2，∴∠CDB＝∠ABD+∠A＝3（同上） BC＝BD，∴∠C＝∠CDB＝3，又 AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3；在△ABC中∠A+∠C+∠ABC＝，即2+3+3＝解得：＝∴∠A＝2＝45°例6.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，DE⊥BC，若BC＝10cm，求△DCE的周长。解： BD平分∠B，DA⊥AB，DE⊥BC∴AB＝BE（易证Rt△BAD≌Rt△BED）又 AB＝AC＝BE，DE＝DA∴△DCE的周长＝EC+DE+DC＝EC+DA+DC＝EC+AC＝EC+BE＝BC＝10cm。例7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，求证：∠DBC＝∠A分析1：用折半法。找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等。证法1：作顶角平分线AE。 AE⊥BC（等腰三角形“三线合一”），∴∠EAC+∠C＝（三角形内角和定理） BD⊥AC（已知）， ∠DBC+∠C＝∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C（等量代换）∴∠DBC＝∠EAC ∠EAC＝∠A（角平分线定义），∴∠DBC＝∠A（等量代换）分析2：用加倍法。找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等。证法2：作∠DBF＝∠DBC，BF交AC于F。由作法得∠FBC＝2∠DBC，即∠DBC＝∠FBD。在△BFD与△BCD中，∴△BFD≌△BCD（ASA）∴∠BFD＝∠C，∴∠FBC＝（三角形内角和定理）又 ∠C＝∠ABC，∴...
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