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八年级数学下册 课后补习班辅导 等腰三角形和等边三角形的轴对称性讲学案 苏科版-苏科版初中八年级下册数学学案VIP专享VIP免费

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等腰三角形和等边三角形的轴对称性【本讲教育信息】一.教学内容:等腰三角形和等边三角形的轴对称性[目标]探索等腰三角形及其特殊形式——等边三角形的轴对称性及其相关性质。二.重、难点:1.等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件;2.等边三角形的概念及其性质。三.知识要点:1.等腰三角形(1)等腰三角形是轴对称图形。顶角平分线所在直线是它的对称轴。(2)等腰三角形的性质(等腰三角形的判别法)①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合,它们都是等腰三角形的对称轴。(简称“三线合一”)②等腰三角形的两底角相等。(简称“等边对等角”)③如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(简称“等角对等边”)☆(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2.等边三角形(a)三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。(b)等边三角形特殊的性质:①等边三角形是轴对称图形,并且有3条对称轴。②等边三角形各角相等,并且每一个角都等于。(有一个角是的等腰三角形是等边三角形)【典型例题】例1.已知等腰三角形的周长为10cm,那么当三边为正整数时,它的边长为()(A)2,2,6(B)3,3,4(C)4,4,2(D)3,3,4或4,4,2分析:可采用排除法。三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。2,2,6不满足;而3,3,4或4,4,2都满足题意。答:选D。例2.O为锐角△ABC的∠C平分线上一点,O关于AC、BC的对称点分别为P、Q,则△POQ一定是()(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形分析:设OP、OQ分别交AC、BC于E、F,由线段的对称轴是它的垂直平分线知:OEAC,且OE=OP;同理OFBC,且OF=OQ;由角平分线的性质知:OE=OF,则OP=OQ。∴△POQ一定是等腰三角形答:选B例3.(1)如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm,那么斜边长等于_________。(2)等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于,则这个等腰三角形的顶角等于_______,底角等于__________。(3)等边三角形的周长是30cm,一边上的高是8cm,则三角形的面积为_____________。解:(1)设斜边长为cm,则直角边长为,根据题意,。解得cm(2)设顶角的一个外角为,则。而顶角的一个外角等于一个底角的2倍,所以等腰三角形的底角等于,顶角等于。(3)等边三角形三边相等,则其边长为,∴例4.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少,求这个三角形的三个内角的度数。(考虑两种情况)解:①设等腰三角形的底角为,则顶角为,则解得:=∴=②设等腰三角形的顶角为,则底角为,则解得:=∴=综上可得:三个内角的度数分别为,,或,,。例5.如图所示,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数。解:设∠EBD=, DE=EB,∴∠EDB=∠EBD=,∴∠AED=∠EDB+∠EBD=2(三角形外角=不相邻的两个内角和) AD=DE,∴∠AED=∠A=2,∴∠CDB=∠ABD+∠A=3(同上) BC=BD,∴∠C=∠CDB=3,又 AB=AC,∴∠ABC=∠C=3;在△ABC中∠A+∠C+∠ABC=,即2+3+3=解得:=∴∠A=2=45°例6.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,BD平分∠B,DE⊥BC,若BC=10cm,求△DCE的周长。解: BD平分∠B,DA⊥AB,DE⊥BC∴AB=BE(易证Rt△BAD≌Rt△BED)又 AB=AC=BE,DE=DA∴△DCE的周长=EC+DE+DC=EC+DA+DC=EC+AC=EC+BE=BC=10cm。例7.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,求证:∠DBC=∠A分析1:用折半法。找出或作出较大角的一半的角,证明它与较小的角相等。证法1:作顶角平分线AE。 AE⊥BC(等腰三角形“三线合一”),∴∠EAC+∠C=(三角形内角和定理) BD⊥AC(已知), ∠DBC+∠C=∴∠DBC+∠C=∠EAC+∠C(等量代换)∴∠DBC=∠EAC ∠EAC=∠A(角平分线定义),∴∠DBC=∠A(等量代换)分析2:用加倍法。找出或作出等于较小角的两倍的角,证明它与较大的角相等。证法2:作∠DBF=∠DBC,BF交AC于F。由作法得∠FBC=2∠DBC,即∠DBC=∠FBD。在△BFD与△BCD中,∴△BFD≌△BCD(ASA)∴∠BFD=∠C,∴∠FBC=(三角形内角和定理)又 ∠C=∠ABC,∴...

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