线段、角的轴对称性【本讲教育信息】一.教学内容：线段、角的轴对称性［学习目标］探索基本图形（线段、角）的轴对称性及其相关性质。二.重、难点：1.线段的垂直平分线的性质及其应用；2.角平分线的性质及其应用。三.知识要点：1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。（线段的对称轴不只一条，除了它的垂直平分线，还有它本身。）（2）线段垂直平分线及其性质。a）线段垂直平分线垂直且平分—条线段的直线叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。（线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合）b）线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（性质定理）到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（判定定理）c）作法：①分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；②过两点做直线。直线就是线段的垂直平分线。［注意］：平面内的曲线被理解为平面内适合某种条件的点的集合，必须满足下列两个条件，缺一不可：①曲线上的每一个点都要具备某种条件；②每个符合某种条件的点都要在这条曲线上。2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在直线是它的对称轴。（2）角平分线及其性质。a）角平分线由角的顶点出发到角的两边距离相等的一条射线叫做角平分线。（角平分线是到角两边距离相等的点的集合）b）角平分线的性质①角平分线上的任意一点到角两边的距离相等；（性质定理）②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（判定定理）【典型例题】例1.求作一点，使点到已知的两边的距离相等，且到已知点的距离相等。作法：①做的平分线；②连接，作的垂直平分线MN，交于。点即为所求点。例2.已知：如图，在ΔABC中，AB、BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂线上吗？为什么？分析：围绕着“中垂线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相等的点，在这条线段的中垂线上”。答：点O在AC的中垂线上。因为AB、BC的中垂线交于点O，由中垂线的性质知，OA＝OB，OC＝OB，所以OA＝OC，所以O在AC的中垂线上。例3.如图，中，，边的垂直平分线分别交于点。，求的周长。分析：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。解： 是线段的垂直平分线，即，∴的周长。例4.如图所示，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，且∠D＝30。求∠A的度数。分析：∠D位于△BCD中，∠A位于△ABC中，它们位于两个不同的三角形之中，欲利用三角形内角和定理解决问题，就必须寻求两个三角形中内角之间的关系，角平分线的条件为我们提供了信息，事实上。解：由已知，∠D＝30°。在△BCD中，∠CBD＋∠BCD＝180°－30°＝150°① BD是∠ABC的平分线，∴②又 CD是∠ACE的平分线，∴从而③（三角形外角定理）由①，②，③知，即∴∴说明：解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC与△BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡。细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提。例5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D。（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是______________。（2）若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是_______________。分析：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。解：（1）作DEAB于E。 D在∠BAC的平分线上，∴DC＝DE＝BC－BD＝8－5＝3（2） DC＝DE＝6，又 BD：DC＝3：2，∴BC＝DC＝15例6.如图，是的边上的点，在上求一点，使的周长最小。作法：（1）作点关于直线的对称点；（2）连结交于M，点M就是所求的点。证明：在上任取一点，连结。 是关于直线的轴对称点，∴。在中，，∴，即的周长的周长。∴的周长最小。【模拟试题】（答题时间：40分钟）1.若点P在∠BAC的平分线上，它到AB的距离为3cm，则它到AC的距离为________cm。2.如图，在△ABC中，∠ACB＝，AB的中垂线交BC于E，垂足为D，∠CAE:∠EAB＝3:2，则∠B＝________。3.如图，中，的垂直平分线交于，交于，的周长为12，，则的周长为________。4.下列说法中正确的是（）①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等②角是轴对称图形③线段不是轴对称图形④...
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