勾股定理与平方根【本讲教育信息】一.教学内容：勾股定理与平方根勾股定理及逆定理揭示了形和数之间的紧密联系，在现实生活中也有着广泛的应用，体现了数学的价值。而且，在数学发展史上有着重要的地位，对人类的发展也起着重要的作用。平方根、算术平方根、立方根概念的引入，体现了引入新数的必要性。从而把对数的认识上升到“实数”上。二.重点、难点：1.勾股定理及逆定理的理解与应用。2.无理数和实数的概念，实数与数轴上的点一一对应。3.近似数字与有效数字的概念。三.知识要点：1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形。（判定三角形是直角三角形的一种方法）满足的三个正整数称为勾股数。如：3、4、5；5、12、13等3.平方根与算术平方根（1）平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称二次方根。即：若，那么x就叫做a的平方根。用表示，读作：“正、负根号a”如：［注意］一个正数有两个平方根，它们互为相反数；如：2的平方根为0只有一个平方根，它是0本身；即负数没有平方根。（2）算术平方根正数有两个平方根，其中正的平方根，也叫做的算术平方根。如：15的平方根是；算术平方根是（3）平方与开平方求一个数的平方根的运算，叫做开平方。平方的结果是唯一的。在开平方的运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的。4.立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称三次方根。即：若，那么x就叫做a的立方根。用表示，读作：“三次根号a”。如：［注意］正数的立方根是正数；0的立方根是0；即负数的立方根是负数。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。5.实数（1）无理数：无限不循环小数，如：（2）实数：有理数和无理数统称为实数。a）分类b）实数和数轴每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。6.近似数与有效数字（1）由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。如：某人的体重约为62公斤，这里的62就是近似数。（2）一个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数算起，到这一位数字止，都叫做这个数的有效数字。如：3.1415926……3.14有三个有效数字3，1，4又如：3488030000（精确到千位）（3）科学记数法把一个数记为如：696000记为6.96（4）取近似值的方法——四舍五入法指定舍去一个数的某一数位后边的数时，如果舍去的数里最左边的一位数字是5，6，7，8，9，就在留下的数字里被指定的数位上+1；如果舍去的数里最左边的一位数字是0，1，2，3，4，留下的数不变，舍去整数时，要用0替代舍去的每一个数字。如：用四舍五入法截取462.3845到百分位，得到近似数462.38；到十分位，得近似数462.4；到十位，得4.6【典型例题】例1.已知等边三角形的边长是6cm。求：（1）高的长；（2）求。解：（1）在中，∴（2）答：高AD的长为，为例2.已知：如图，△ABD中∠B=90°，∠D=15°，C是BD上一点，AC=CD=8cm，则AB=cm，BC=cm。解： ∴是等腰三角形∴ ∴中，，说明：三角形的外角等于两个不相邻的内角和。例3.若，求（1）（2）中的x解：（1） ∴又 ∴3x=4.115x≈1.372（2） ∴又 ∴1－2x=41150x≈－20574.5例4.已知一个正方体的棱长是4厘米，再做一个正方体，使它的体积是原正方体体积的3倍，求所做正方体棱长（精确到0.1cm）解：设所做正方体棱长为xcm则∴x≈5.8cm答：所做正方体棱长为5.8cm说明：按照近似计算的要求，在解题过程中应比要求的精确度多保留一位小数，最后结果再四舍五入到要求的形式。例5.用科学记数法表示91800000，正确的是（）（A）918×（B）91.8×（C）9.18×（D）9.18×解：选D说明：紧扣科学记数法的定义，其中。例6.（1）一个数用科学记数法记为6×，这个数原来怎么记？它是几位整数？（2）一个数用科学记数法记为6.09×，这个数原来怎么记？它是几位整数？（3）一个数用科学记数法记为6.00009×，这个数原来怎么记？它有几位整数？答：（1）60000，...
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