一道等差数列题的几何解法及变题江苏省海门市四甲中学吴焱焱新课程标准下等差数列的能力要求是理解，掌握；灵活和综合应用，可见，等差数列这一节在高考中是必考也是重点考内容。同行都知道，很多学生遇上计算总是容易出错，所以在能用几何方法解的情况下总是优先选择几何解法。那么等差数列这一节纯代数的内容该怎么和几何挂钩呢？等差数列的通项公式：。我们发现，它的解析式可以看做定义域为正整数集的关于n的一次函数。其图像是一直线上的几个孤立的点。如图：（1）若，则：(2)若，则：(3)若，则：(4)若，则：等差数列前n项和公式是我们发现，它的解析式可以看做定义域为正整数集的关于n的二次函数。其图像是一抛物线上的几个孤立的点。如图：(1)若（图（5））则：123…nn+1…yx图（1）123…nn+1…yx图（2）123…nn+1…yx图（3）123…nn+1…yx图（4）123…nn+1…yx图（5）(2)若，则：（图（6））(3)若，则：图（7））(4)若，则：图（8））一般情况，情况（2），（3）所涉及的变化单一，考得较少另外：，则图像对称轴n=且图像所在抛物线必过（0,0）所以：设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点为0和，则可设例：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？求此最大值。常规解法一：由，得常规解法二：由，得123…nn+1…yx图（6）123…nn+1…yx图（7）123…nn+1…yx图（8）这两种方法是直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式出发，利用基本概念解题，优点是思路清晰，缺点是计算复杂。接下来我们看利用图像解题：速解：，且有最大值抛物线对称轴方程为，如图（9）：如图：抛物线与X轴的交点分别为：（0,0），（26,0）∴可设，由时，练习1：等差数列中，，，该数列前多少项的和最小？解：∵，∴的图像所在的抛物线的对称轴为，又,，∴的前8项和最小。练习2：设等差数列的前n项和为，已知，则中哪一个值最大,并说明理由.解：易知d<0,抛物线开口向下，设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点为0和，因，则，故的值最大.练习3：设等差数列的前n项和为，且，求的值解：抛物线对称轴方程为，则抛物线两个零点为0和，所以=0练习4：设等差数列满足，且，则前n项和中最小的是_____解：，抛物线开口向上，由对称轴53.5，最小变题：已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为_______________解：由题意前n项和Sn有最大值，则则：1…9…1317…yx图（9）0x1…21…19yx…图（10），如图（10）如图（10）：满足题意的有19,20项，又所以使得Sn>0的最大值n为19练习：在等差数列{an}中，（1）求的最小值（2）求使>0的n的最小值（3）比较解：（1）由题意可得，则：如图（11）：∴的最小值为∴图像所在抛物线的对称轴，则∴使>0的n的最小值可能是11或12，又∴使>0的n的最小值是12由（2）的结论知，∴又∵1……yx图（11）5.56.5611∴四甲中学吴焱焱，2012年12月发表于理科考试研究
VIP
