第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共8页逆向思维策略在解数学题中的应用在解答数学问题的过程中，经常接触到的不是标准的模式化了的问题，要顺利地解答这些问题，就需要进行创造性的思维，寻求一种解题策略．而对于某些问题，当运用正面思维策略很难得出解题途径，甚至有时还是不可能的，这时可以改从目标的“反面”去思维，间接地解答问题．这种解题策略称为逆向思维策略或正难则反．例1、设a、b、m、n、p均为实数，且满足ap–2bn+cm=0与b2–ac<0，求证mp–n2的值为零或负数．采用正面思维时，很难得到解题思路，可改用逆向思维策略，如下：假设mp–n2为正数，即mp–n2>0则有mp>n2≥0，由b2–ac<0得ac>b2≥0acmp>b∴2n2①式又由ap–2bn+cm=0可得bn=(ap+cm)/2②式将②代入①得acmp>(ap+cm)2/4第2页共8页第1页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共8页化简整理得(ap–cm)2<0，这里产生了矛盾，所以原命题成立．逆向思维解题策略的应用很广泛，其基本特点是：从已有思路的反方向去思考问题，顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决；正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能性发生困难时，考虑探讨不可能性．逆向思维反映了思维过程的判断性、突变性与反联结性，有利于克服思维定势的保守性，同时，往往能导致某些意想不到的效果．从而促进数学创造的产生．运用逆向思维策略，常有以下几种形式：一、反证法．反证法又可以分为归谬法和穷举法两种，所谓归谬法就是当结论的否定方面只有一种情况时，只要把这种情况否定，就能肯定原命题的结论正确．而穷举法是当命题结论所否定的方面有两种以上的情况时，必须把其所有情况都驳倒，才能肯定原命题的结论正确，一般来讲，反证法常用来证明“否定性”命题，“唯一性”命题，“至多”、“至少”命题，某些“无限”命题和直接证明难以下手的命题等．例2、已知a、b、c都是小于1的正数求证：乘积第3页共8页第2页共8页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共8页(1–a)b，(1–b)c，(1–c)a不能同时大于14．我们采用反证法来加以证明．证明：假设(1–a)b>14，(1–b)c>14，(1–c)a>14同时成立．以上第一式两边同乘以a，得：(1–a)ab>a4①式考虑到(1–a)a≤[(1−a)+a2]2=14，两边同乘以b，得：(1–a)ab≤b4②式由①、②式得a4
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