1统计量与抽样分布1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体X的样本X1，X2，⋯，Xn，则T(X1，X2，⋯，Xn)即为统计量样本均值X样本方差212)(1niinXXnS修正样本方差212*)(11niinXXnS样本k阶原点矩,...)2,1(,11kXnAnikik样本k阶中心矩,...)2,1(,)(11kXXnBnikik经验分布函数)(,)()(xnxvxFnn其中Vn(x)表示随机事件}{xX出现的次数,显然))(,(~)(xFnBxVn,则有)()]([xFxFEn)](1)[(1)]([xFxFnxFDn补充：DXnnESn12DXESn2*22)(EXDXEX22211nniiSXXn二项分布B(n,p):),...,1,0(,)1(}{nkppCkXPknkknEX=npDX=np(1-p)泊松分布)(P:,...)1,0(,!}{kekkXPkEXDX均匀分布U(a,b):)(,1)(bxaabxf2baEX2)(121abDX指数分布:(),(0)()1,(0)xxfxexFxex1EX21DX正态分布),(2N:}2)(exp{21)(22xxfEX2DX22221()1nnnSnEnESn224222(1)()2(1)nnnSnDnDSn当0时，0EX22EX443EX2XE2)21(XD1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族T是θ的充分统计量),...,,(21tTxxxfn与θ无关T是θ的完备统计量要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0));,...,,((),...,,();()(21211nninixxxTgxxxhxfL且h非负T是θ的充分统计量),...,,()},...,,()(exp{)();(21211nnniixxxhxxxTbCxfT是θ的充分完备统计量),...,,()},...,,()(),...,,()(exp{)();(21212221111nnnniixxxhxxxTbxxxTbCxf),(21TT是),(21的充分完备统计量1.3抽样分布：2分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布2分布：)(~...2222212nXXXn)0()2(21)(1222xxenxfnxnnE2nD22T分布：)(~/ntnYXT当n>2时，ET=02nnDTF分布：),(~2121nnFnYnXF),(112nnFF补充：Z=X+Y的概率密度dyyyzfdxxzxfzfz),(),()(f(x,y)是X和Y的联合概率密度XYZ的概率密度dxxxzxfzfz),()()(xgy的概率密度)]'([))(()(11ygygfyfxy函数：01)(dxexx)()1(1)1(,)!1()(nnB函数：1011)1(),(dxxxB)()()(),(B1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数°X、样本极差RX(k)的分布密度：),...,2,1(),()](1[)]([)!()!1(!)(1)(nkxfxFxFknknxfknkxkX(1)的分布密度：1)](1)[()()1(nxxFxnfxfX(n)的分布密度：1)]()[()()(nxxFxnfxfn2参数估计2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计$的均方误差：$$$$22(,)()()MSEEDE若$是无偏估计，则$$(,)MSED对于的任意一个无偏估计量$，有$$*DD，则$*是的最小方差无偏估计，记MVUE相合估计(一致估计):limnnE$lim0nnD2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法矩估计法：①求出总体的k阶原点矩:12(;,,...,)kkkmaEXxdFx②解方程组11nkkiiaXn(k=1,2,...,m)，得$$12(,,...,)kknXXX即为所求最大似然估计法：①写出似然函数1()(;)niiLfx，求出lnL及似然方程$ln0iLi=1,2,...,m②解似然方程得到$12(,,...,)inxxx，即最大似然估计$12(,,...,)inXXXi=1,2,...,m补充：似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T是的充分完备统计量，$是的一个无偏估计$$*(|)ET为的惟一的MVUE最小方差无偏估计的求解步骤：①求出参数的充分完备统计量T②求出()ETg，则$1()gT是的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数③综合，11[()]()EgTTgT是的MVUE或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUET是()g的一个无偏估计，则满足信息不等式'2[()][()]()gDTXnI，其中2ln(;)()fXIE或22ln(;)()0fXIE，(;)fX为样本的联合分布。最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1无偏估计$的效率：$$1()()eDnI$是的最大似然估计，且$是的充分统计量$是的有效估计2.4区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数和区间估计一个总体的情况：2~(,)XN2已知，求的置信区间：00020~(0,1)XNXunn2未知，求的置信区间：*00*2~(1)(1)nnXStnXtnSnn已知，求2的置信区间：22222111222122()()()~()()()nnniiiiiiXXXnnn未知，求2的置信区间：22222111222122()()()~(1)(1)(1)nnniiiiiiXXXXXXnnn两个总体的情况：211~(,)XN，222~(,)YN2212,均已知时，求12的区间估计：22121212221221212()~(0,...
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