初中数学竞赛培训讲义第十讲等腰三角形的性质研究一竞赛知识简介（－）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问B/A/EDCBAGFEDCBANMCBA题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。二赛题讲解1利用“等边对等角”性质求角例1如图，分别是的平分线，若，求的度数.拓展训练1、如图，在中，,在上取点，在上取点，使，若，求的度数.2、如图，是直线，且，求的值.PDCBAQPFEDCBA3、已知的三角形的边长的长分别为，且，试判定的形状.4、在中，已知，且过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，求各内角的度数.5、四边形中，,分别是的中点，交于,求证：.2、等腰三角形中的全等构造例2在中，是的平分线，，垂足是，已知FDCBAMDCBADCBA，求证：.例3如图，在四边形中，,若,求证：例4如图，在中，,是上一点，求证：.拓展练习1、如图，在中，,点是的中点，是的平分线，∥,求的长.DCBAFEDCBAFEDCBADCBA2、如图，中，于，,求证：3、如图，在中，,是上一点，,,求的度数.3、等边三角形中的几何问题例5如图，中，分别以为边向外作等边三角形，记分别是等边三角形的中心.(1)求证：是等边三角形.(2)若，求的面积.例6边长为等边中，是边上的点，与交于点.(1)若,的度数.PCBAFEDCBA(2)，求证：.拓展训练1、一个六边形的六个内角均为，连续四边的长依次是，求该六边形的周长和面积.2、是等边内一点,，求的长.3、如图，菱形中，,是边上的点，若中有一个内角是，求证：是等边三角形.4、构造等边三角形解题MCBADCBADCBA例7如图，中，,为内一点，使得，求的度数.拓展练习1、中，,,为内一点，且求的度数.2、如图，在等腰中，,,在边上取点，使得，求的度数.例8如图，在中，.求证：..DCBAQPCBA拓展练习1、如图，在中，,是内一点，且，求证：.练习题1、在中，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和上，则（）的大小关系不能确定.2、如图，已知等腰中，分别是上的点，且，求的度数.QPCBAEDCBAPCBA3、如图，在中，,分别在上，并且分别是的角平分线，求证：.4、如图，中，,延长到，延长到，使，联接，若，求证：是等边三角形.5、如图，中，,为内一点，使得，求的度数.
