几何综合题1.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H．（1）如图1，若①直接写出B和ACB的度数；②若AB=2，求AC和AH的长；（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．答案：（1）①75B，45ACB；②作DE⊥AC交AC于点E.Rt△ADE中，由30DAC，AD=2可得DE=1，AE3.Rt△CDE中，由45ACD，DE=1，可得EC=1.∴AC31.Rt△ACH中，由30DAC，可得AH332；（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.易证△ACH≌△AFH.∴ACAF,HCHF.∴GHBC∥. ABAD，∴ABDADB.∴AGHAHG.∴AGAH.∴2222ABACABAFABBFABBGAGAH.2.正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转，所得射线与线段BD交于点M，作CEAM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（1）如图1，当045时，①依题意补全图1．②用等式表示NCE与BAM之间的数量关系：__________．BAC60BAC（2）当4590时，探究NCE与BAM之间的数量关系并加以证明．（3）当090时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．答案：（1）①补全的图形如图7所示．②∠NCE=2∠BAM．（2）当45°<α<90°时，=1802NCEBAM．证明：如图8，连接CM，设射线AM与CD的交点为H． 四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，点A与点C关于直线BD对称． 射线AM与线段BD交于点M，∴∠BAM=∠BCM=α．∴∠1=∠2=90． CE⊥AM，∴∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．又 ∠1+∠4=90°，∠4=∠5，∴∠1=∠3．∴∠3=∠2=90． 点N与点M关于直线CE对称，∴∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=1802BAM．（3）21CDBA图1备用图CDBAM3.如图，已知60AOB，点P为射线OA上的一个动点，过点P作PEOB，交OB于点E，点D在AOB内，且满足DPAOPE，6DPPE.（1）当DPPE时，求DE的长；（2）在点P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M，使得DMME的值不变？并证明你的判断.答案：（1）作PF⊥DE交DE于F. PE⊥BO，60AOB，∴30OPE.∴30DPAOPE.∴120EPD. DPPE,6DPPE,∴30PDE,3PDPE.∴3cos3032DFPD.∴233DEDF.（2）当M点在射线OA上且满足23OM时，DMME的值不变，始终为1.理由如下：当点P与点M不重合时，延长EP到K使得PKPD. ,DPAOPEOPEKPA,∴KPADPA.∴KPMDPM. PKPD,PM是公共边,∴KPM△≌DPM△.∴MKMD.作ML⊥OE于L,MN⊥EK于N. 23,60MOMOL，∴sin603MLMO. PE⊥BO,ML⊥OE,MN⊥EK，∴四边形MNEL为矩形.∴3ENML. 6EKPEPKPEPD,∴ENNK. MN⊥EK,BAOEDPFDEOBAPLNMDKEOBAP∴MKME.∴MEMKMD,即1DMME.当点P与点M重合时，由上过程可知结论成立.4.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．答案：（1）补全的图形如图所示.（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.∴∠FCG=∠ACE=α. 四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°.∴∠AGC=30°.∴∠AFC=α+30°.（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为CGAFAE3.证明：作CH⊥AG于点H.由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.∴CA=CG.∴HG=21AG. ∠ACE=∠GCF，∠CAE=∠CGF，∴△ACE≌△GCF.∴AE=FG.在Rt△HCG中，.23cosCGCGHCGHG∴AG=3CG.即AF+AE=3CG.5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE=，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.（1）依题意补全图形；（2）当=30°时，直接写出∠CMA的度数；（3）当0°<<45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．答案：（1）如图；（2）45°；（3）结论：AM=2CN．ABCE证明：作AG⊥EC的延长线于点G． 点B与点D关于CE对称，∴CE是BD的垂直平分线．∴CB=CD．∴∠1=∠2=． CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD． ∠4=90°，∴∠3=（180°∠ACD）=（180°90°）=45°．∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°． ∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．∴∠6=∠7． AG⊥EC，...
