第1页/共17页案例（二）----精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一平面的法向量1.平面法向量的定义(1)定义:已知平面a如果向量n的基线与平面a垂直,则向量n叫做平面a的法向量或说向量n与平面a正交.(2)平面法向量的性质:①平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量;②一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行.2.平面的法向量的求法方法一:找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量方法二:待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:①设出平面的法向量为n=(x,y,x)；②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)；③根据法向量的定义,建立关于x,y,z的方程组??;0,0bnan④解方程组,取其中的一个解,即得法向量.这里需要说明的是:①方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视具体情况而定;②在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,若没有则用待定系数法;③在第2页/共17页利用方法二求解平面的法向量时,方程组??;0,0bnan有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.3.平面法向量的作用详解:设n1,m2分别是平面a,的法向量,m是直线l的方向向量,则有:①l∥a或lam⊥n1m·n1=0；②l⊥am∥n1；③a∥或a与重合n1∥n2；④a⊥=n1⊥n2n1·n2=0.知识点二三垂线定理及其逆定理.三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系.①三垂线定理的符号描述如右图,PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,aa,且a⊥OA,则a⊥PA.②三垂线定理的逆定理的符号描述如上图,PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,aa,且a⊥PA,则a⊥OA.关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明a⊥b的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面的垂线;第二:找射影线(或斜线),这时a,b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);第三:证明射影(或斜线)与直线a垂直,从而得出a,b垂直.典型例题分析第3页/共17页题型1求平面的法向量【例1】已知平面a经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a的一个法向量.解析用待定系数法求解平面a的法向量.答案因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以AB=(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3).设平面a的法向量为n=(x,y,z),依题意,应有n·AB=0,n·AC=0,即有,0342,042zyxzyx解得.0,2zyx令y=1,则x=2,所以平面a的一个法向量为n=(2,1,0方法指导用待定系数法求解平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.【变式训练1】已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一个单位法向量答案因为A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以AB=(-3,4,0),AC=(-3,0,5).设平面ABC的法向量为n=（x,y,z)依题意，应有n·AB=0,n·AC=0,即有,053,043zxyx解得,53,43xzxy,即平面A的法向量为n(x，43x,53x),所以平面ABC的单位向量为n0=nn=(76920,76915,76912)或n0=-nn=(-76920,-76915,-76912).第4页/共17页【例2】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.解析首先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解平面的法向量.答案建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),C(0,1,0).设平面ACD1的法向量n=(x,y,1).得AC=(-1,1,0),AD=(-1,0,1).又n⊥面ACD,得n⊥AC,n⊥AD,所以有得,1,1yx∴n=(1,1,1),n0=nn=111)1,1,1(=33,33,33.方法指导用待定系数法求解平面的法向量,应该说是个基本方法,它具有操作简单的特点,应切实掌握其实,对于本题来说,却未必是一个好的方法,这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DB1⊥AD1,DB1⊥CD1,从而DB1⊥平面ACD1,所以1DB就是平面ACD1的一个法向量.【变式训练2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在BC,DD1上是否存在点E,F,使FB1是平面ABF的法向量?若存在...
