专题四因式分解与方程一、基本知识和方法1.因式分解将一个多项式写成一个或几个多项式相乘的形式，称为因式分解。习惯上，我们要求因式分解的结果中的多项式为既约多项式。既约多项式也称为不可约多项式，不能分解为次数更低的多项式的乘积。如果一个多项式能够分解为次数更低的多项式的乘积，那么这个多项式称为可约多项式1。即约多项式的判定依赖于多项式所在的数集。在较小的数集上既约的多项式，在较大的数集上可能是可约的。例如，多项式22x在整数上是既约的，但是在实数上可以分解为22xx；多项式22x在整数与实数上都是既约的，但是在复数上可以分解为22xixi。有理系数多项式可以通过提取适当的有理数转化为整系数多项式。在有理数上分解因式，本质上与在整数上分解因式是一样的。在上一节，我们提到了多项式在运算上与整数的相似之处。多项式的因式分解与整数的质因数分解也是非常相似的。多项式中既约多项式的地位与整数中质数的地位是相似的，多项式的因式分解与整数的质因数分解也非常相似。更进一步，整数的质因数分解是唯一的；类似地，在相差一个数的倍数的意义下，多项式的因式分解也是唯一的。上述事实被称为因式分解唯一定理。利用这一定理，我们可以处理一些不太容易处理的问题。考虑多项式61x的因式分解。先利用立方差公式，然后利用平方差公式，可得：但是如果先利用平方差公式，然后利用立方差与立方和公式，可得：为什么两种方式分解出来的结果不一样呢？如果掌握了因式分解唯一定理，我们就可以确信：4222111xxxxxx，多项式乘法显然可以验证这一等式，我们也可以通过“拆添项”的技巧来达到同样的目标：下面我们来看一个更复杂的例子，考虑多项式151x的因式分解。一方面，我们有：另一方面，我们还可以得出：又一次地，我们得出了两个不同的结果。不过根据前面的知识与经验，我们可以确信，2129634321051111xxxxxxxxxxxx，利用多项式的除法，我们可以算出：与105287543111xxxxxxxxxx，这样我们最终殊途同归：1524328754311111xxxxxxxxxxxxxx。1这里忽略系数含有公因子的整系数多项式。习惯上，这类多项式的因式分解要求提取系数的公因数。这是1978年全国数学联赛的一道赛题，后来又被一位教授用作对研究生的考题i。得出最后的结果，一方面需要因式分解唯一定理这一知识，另一方面还需要证明多项式875431xxxxxx是既约的2，这是不太容易的。因式分解的理论就介绍到这里，下面我们来重点介绍因式分解的方法。除了在中学课本中介绍的方法之外，因式分解有一个非常重要的方法——十字相乘法；其中，又以含有字母系数的十字相乘法最易被忽视，而这一方法在初等数学问题中有非常广泛与重要的应用。整数系数的二次三项式的十字相乘，在求解一元二次方程中使用频率非常高，这里我们就不赘述了。下面，我们从二元二次六项式开始。考虑多项式222332xxyyxy的因式分解，基本的方法分为三个步骤：首先选取主元x，将多项式整理为关于x降幂排列的形式：222332xyxyy，然后分解“常数项”：223321xyxyy，最后利用十字相乘进行分解，得：321xyxy，即321xyxy。这一方法同样适用于三元齐二次多项式。例如：222695156xxyyxzyzz。首先关于x降幂排列：222659156xyzxyyzz，然后分解“常数项”：265332xyzxyzyz，最后十字相乘：3233xyzxyz。即使多项式的次数超过二次，但是只要有一个字母的最高次数恰好为二次，这一方法就很有可能成功。下面我们再来看两个较复杂的例子。考虑多项式2222223ababacacabcbcbc的因式分解。这个三元多项式并不是齐二次的，但是其中每一个字母的次数都不超过二次，因此可以选择a作为主元进行降幂排列，然后分解：再看一个例子：22axbyaybxayaxbyaybxay。这是一个更复杂的四元四次多项式，但是将其中的a与b看作是字母系数，将这个多项式整理为关于x与y的齐二次多项式，十字相乘的方法仍然奏效：2.因式定理因式分解与方程有着非常紧密的联系。利用因式分解来解一元二次方程是使用频率非常高的解法。反过来，利用方程也可以帮助因式分解。事实上，我们有：因式定理：设()fx是一个多项式，x是方程()0fx的一个解，那么多项式()fx有因式2可以利用爱森斯坦（Eisenste...
